2-Ma’ruza. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi va xossalari

a±b=(x₁,u₁, z₁)±(x₂,u₂, z₂)= (x₁± x₂, y₁± y₂, z₁± z₂). (3)
Isbot: Vektorlarning (2) yoyilmasi va ularni o‘zaro qo‘shish, songa ko‘paytirish amallarining xossalariga asosan
a±b=(x₁,u₁, z₁)±(x₂,u₂, z₂)=(x₁ i +y₁ j+z₁ k)± (x₂ i +y₂ j+z₂ k)=
=(x₁± x₂)i+(y₁± y₂)j+(z₁± z₂)k
tenglikni olamiz va undan (3) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz.
Masalan, a=(4,–2,1) va b=(5,9,0) vektorlar uchun
a+b=(4+5,–2+9,1+0)=(9,7,1) , a–b=(4–5,–2–9,1–0)=( –1, –11,1).
3-TEOREMA: Har qanday a=(x, u, z) vektorning ixtiyoriy  songa ko‘paytmasining koordinatalari uning har bir koordinatasini  songa ko‘paytirishdan hosil bo‘ladi, ya’ni a=( x, u, z)= (x, u, z).
Teoremaning isbotini o‘quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etamiz. Masalan, a=(3, –4, 1) va λ=6 bo‘lsa, 6a=6(3, –4, 1)=(18, –24, 6) bo‘ladi.
Bu natijalardan foydalanib ushbu masalalarni yechamiz.
Masala № 1: Boshi A(x₁, y₁, z₁) va uchi B(x₂, y₂, z₂) nuqtada joylashgan vektorning koordinatalarini toping.
Yechish: Berilgan vektorning A boshi va B uchini koordinatalar boshi O bilan tutashtirib va vektorlarni hosil etamiz (16-rasmga qarang).

Bunda =(x₁, y₁, z₁), =(x₂, y₂, z₂) bo‘ladi va vektorlarning ayirmasi ta’rifi hamda 2-teoremaga asosan quyidagi natijani olamiz:
=(x, y, z)= – =(x₂, y₂, z₂)– (x₁, y₁, z₁)= (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) . (4)
Demak, vektorning koordinatalarini topish uchun uchining koordinatalaridan boshini koordinatalarini ayirish kerak. Masalan, boshi A(5,–4, 2) va uchi B(7, 1, 0)
nuqtalarda joylashgan vektorning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi:
x= x₂ – x₁=7–5=2, y=y₂ – y₁=1–(–4)=5, z=z₂ – z₁=0 –2= –2.
Masala № 2: Uchlari A(x₁, y₁, z₁) va B(x₂, y₂, z₂) nuqtalarda joylashgan AB kesmani berilgan λ (λ>0) nisbatda bo‘luvchi C(x₀, y₀, z₀) nuqtaning koordinatalarini toping.
Yechish: Oldingi masalaga asosan
=(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁), =(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
deb yozishimiz mumkin. Masala sharti, vektorni songa ko‘paytirish ta’rifi va 3-teoremaga asosan ushbu tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
| |=λ| | = λ
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)=λ(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)= (λ x₂ – λ x₀, λ y₂ – λ y₀, λ z₂ – λ z₀).
Bu yerdan, 1-teoremaga asosan, izlanayotgan x₀ koordinata ushbu tenglamadan topiladi:
.
Xuddi shunday tarzdagi mulohazalar orqali izlangan nuqtaning koordinatalari
(5)
formulalar bilan topilishini aniqlaymiz.
Masalan, uchlari A(2,–3, 1) va B(16, 11, 15) nuqtalarda joylashgan AB kesmani λ=2:5 nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalari (5) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:

Xususiy, λ=1 bo‘lgan, holda AB kesmaning o‘rta nuqtasi koordinatalari uchun ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
. (6)
Masalan, uchlari A(4,–1, 5) va B(2, 11, –13) nuqtalarda joylashgan AB kesmaning o‘rta nuqtasining koordinatalari (6) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:
x₀=(4+2)/2=3, y₀=(–1+11)/2=5, z₀=(5+(–13))/2=–4 .


Tayanch iboralar

Skalyar * Vektor * Vektorning moduli * Vektorning geometrik talqini * Vektorning boshi * Vektorning uchi * Nol vektor * Kollinear vektorlar * Vektorlarning tengligi * Komplanar vektorlar*Vektorni songa ko‘paytmasi * Qarama-qarshi vektorlar* Vektorlarni qo‘shish * Parallelogramm qoidasi * Uchburchak qoidasi*Ko‘pburchak qoidasi *Parallelepiped qoidasi * Vektorlarni ayirish * Ort vektorlar*Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi *Vektorning yoyilmasi * Vektorning koordinatlari

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Qanday kattaliklar skalyarlar deyiladi?
   
2. 
   Skalyarlarga qanday misollar bilasiz?
   
3. 
   Qanday kattaliklar vektorlar deb ataladi?
   
4. 
   Vektorlarga qanday misollar bilasiz?
   
5. 
   Vektorlarning geometrik ma’nosi nimadan iborat?