2-Ma’ruza. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi va xossalari

1. a+b = b+a — kommutativlik (o‘rin almashtirish) qonuni;
2. (a+b)+c = a+(b+c) — assotsiativlik (guruhlash) qonuni;
3. λ(a+b) = λa+ λb ; 4. a+0 =a.
11-TA’RIF: a va b vektorlarning ayirmasi deb a va –b vektorlarning yig‘indisiga aytamiz.
a va b vektorlarning ayirmasi a–b kabi belgilanadi bu vektorlardan hosil qilingan abcd parallelogrammning B uchidan chiquvchi diagonalidan iborat bo‘ladi (13-rasmga qarang).

3. 
   Vektorlarning koordinatalari. Dastlab tekislikdagi vektorlarning koordinatalari tushunchasini kiritamiz. Buning uchun tekislikda o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan va O nuqtada kesishuvchi OX(abssissalar o‘qi) va OY (ordinatalar o‘qi) o‘qlaridan tuzilgan  Dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Bu sistemada tekislikdagi har bir M nuqta o‘zining OX va OY o‘qlardagi proyeksiyalari bo‘lmish M_x va M_y nuqtalar orqali (14-rasmga qarang) quyidagicha aniqlanadi. M_x va M_y nuqtalardan O koordinata boshigacha bo‘lgan |OM_x| va |OM_y| masofalar orqali M nuqtaning koordinatalari deb ataladigan x=±|OM_x| (abssissa) va y=±|OM_y| (ordinata) sonlar aniqlanadi. Bunda (x,y) koordinatalarning ishoralari I–IV choraklarda mos ravishda (+,+), (–,+), (–,–) va (+,–) kabi olinadi. Shunday qilib, tekislikdagi har bir M nuqta o‘zining koordinatalari bo‘lmish (x,y) sonlar juftligi orqali bir qiymatli aniqlanadi va bu hol M(x,y) kabi yoziladi.
   

Xuddi shunday tarzda tekislikdagi har bir a vektorni sonlar juftligi orqali ifodalash mumkin. Buning uchun mos ravishda O va  koordinata o‘qlarida joylashgan, musbat yo‘nalishga ega va uzunliklari birga teng bo‘lgan i va j vektorlarni kiritamiz (15-rasm).

Kiritilgan i va j vektorlar ort vektorlar yoki qisqacha ortlar deb ataladi. Endi berilgan a vektorni yo‘naltirilgan kesma sifatida qarab, uning OX va O o‘qdagi proyeksiyalarini qaraymiz. Bu proyeksiyalar ham yo‘naltirilgan kesmalar bo‘lib, ular a vektorning OX va O o‘qdagi proyeksiyalari deb ataladi va a_x , a_y kabi belgilanadi. Koordinatalar o‘qlarida joylashgan a_x , a_y vektorlar mos ravishda shu o‘qlardagi i, j ortlarga kollinear bo‘ladi va shu sababli a_x =±|a_x|i hamda a_y =±|a_y|j deb yozish mumkin. Bunda proyeksiyalar va ortlar bir xil yo’nalishda bo‘lsa +, qarama-qarshi bo‘lsa – ishorasi olinadi. Unda vektorlarni qo‘shish ta’rifiga asosan quyidagi tengliklarni yoza olamiz: