2-ma’ruza. Tekislikdagi to’plam o’lchovi

2-ma’ruza. Tekislikdagi to’plam o’lchovi

1-shakl

Tekislikda koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lsa, u holda ushbu

a  x b, c y d (1)

shartlarni qanoatlantiruvchi (x;y) nuqtalar to‘plami biror to‘g‘ri to‘rtburchakni tasvirlaydi.

Bu to‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlari mos ravishda b-a va d-c uzunliklarga ega bo‘lgani uchun uning yuzini (b-a)(d-c) ga teng deb olishimiz tabiiy (1-shaklga qarang).

Xuddi shuningdek,

a < x < b, c < y < d (2)

shartlarni qanoatlantiruvchi (x;y) nuqtalar to‘plami ham xuddi o‘sha to‘g‘ri to‘rtburchakni tasvirlaydi, faqat bu holda to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlari qaralayotgan to‘plamga tegishli bo‘lmaydi. Uning yuzasini ham (b-a)(d-c) songa teng deb olamiz.

Demak, to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlari koordinatalar o‘qlariga parallel bo‘lsa, uning yuzini berilgan a, b, c, d sonlari orqali topilar ekan.

3-шакл
Shu to‘g‘ri to‘rtburchakning 45⁰ ga burilgan holatini qaraylik(2-shakl). Ravshanki, bu to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi ham (b-a)(d-c) ga teng. Ammo, koordinatalar sistemasida berilgan munosabatlarga ko‘ra, avvalo uning to‘g‘ri to‘rtburchak ekanligini aniqlash, keyin esa tomonlari b-a va d-c bo‘lishini topish kerak. Bizning vazifa esa, berilgan k, l, m, n va s, t, u, B lar yordamida to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini aniqlashdan iborat.

Agar parallelogrammning bir tomoni koordinata o‘qlaridan biriga parallel bo‘lsa, u holda uning yuzini yuqoridagi kabi, to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasi tushunchasiga asoslanib topish mumkin(3-shakl):

S_E=(m-k)(d-c)=(n-l)(d-c).

Ammo, har doim ham, ixtiyoriy parallelogrammning biror tomoni koordinata o‘qlaridan biriga parallel bo‘lishi shart emas.

Demak, bu holda tekislikdagi ixtiyoriy figura yuzini topish formulasini, xuddi elementar geometriyadagidek keltirib chiqarish mumkin emas ekan.

Ushbu paragrafda, faqat maxsus to‘g‘ri to‘rtburchaklar yordamida yuza yoki umumiyroq qilib aytganda o‘lchov tushunchasi qanday kiritilishini ko‘rib chiqamiz.

Kelgusida biz to‘g‘ri to‘rtburchak deganda, tomonlari koordinatalar o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaknigina tushunamiz.

Zaruriyat tug‘ilganda bu to‘g‘ri to‘rtburchaklarni ham turli sinflarga ajratish mumkin.

Yuqoridagi (1) shartlar bilan berilgan to‘g‘ri to‘rtburchak yopiq to‘g‘ri to‘rtburchak deyiladi. Shuningdek, (2) shartlar bilan berilgan to‘g‘ri to‘rtburchak ochiq to‘g‘ri to‘rtburchak deyiladi. Qolgan barcha hollarda, ya’ni bir tomonli (masalan, a x<b, c<y<d bo‘lganda, faqat bir tomon to‘g‘ri to‘rtburchakka tegishli), ikki tomonli, uch tomonli to‘g‘ri to‘rtburchaklar yarim ochiq to‘g‘ri to‘rtburchaklar deyiladi.

Tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar to‘plamini R orqali belgilaymiz.

Har bir to‘g‘ri to‘rtburchak uchun, elementar geometriyadagi yuza tushunchasidan foydalanib uning o‘lchovini aniqlaymiz.

• 
  bo‘sh to‘plamning o‘lchovi 0 ga teng;
  
• 
  bo‘sh bo‘lmagan, shuningdek a, b, c va d sonlari
  

bilan aniqlangan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) E to‘g‘ri to‘rtburchakning o‘lchovi

(b-a)(d-c)

ga teng.

Shunday qilib, R dan olingan har bir E to‘g‘ri to‘rtburchakka uning m(E) o‘lchovi mos qo‘yildi. Bu o‘lchov, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

a) m(E) o‘lchov manfiy bo‘lmagan haqiqiy son;

4-шакл
b) m(E) o‘lchov additiv, ya’ni agar E= va ij bo‘lganda E_iE_j= bo‘lsa, u holda

m(E) = m(E_i)

bo‘ladi.

Oxirgi tenglik, bir nechta o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklar birlashmasining yuzasi, birlashmaga kirgan har bir to‘g‘ri to‘rtburchak yuzalarini topib yig’ish kerakligini bildiradi.

Bunday bo‘lishi esa tabiiy (4-shakl).

5-shakl
Bizning endigi vazifamiz, faqat to‘g‘ri to‘rtburchaklar uchun aniqlangan m(E)-o‘lchov tushunchasini boshqa, kengroq to‘plamlar sinfi uchun, a) va b) xossalarni saqlagan holda kiritishdan yoki boshqacha aytganda, davom ettirishdan iborat.

Dastlab, o‘lchovni elementar

to‘plamlar deb nomlangan

to‘plamlar uchun aniqlaymiz.

1-ta’rif. Agar tekislik- dagi to‘plamni qandaydir usulda o‘zaro kesishmaydigan, chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar birlashmasi ko‘rinishda tasvirlash mumkin bo‘lsa, u holda bunday to‘plam elementar yoki sodda to‘plam deyiladi.

5-shakldagi to‘plam elementar to‘plamdir. Bu shaklda u 4 ta to‘g‘ri to‘rtburchaklarga ajratilgan. Ko‘rinib turibdiki, bunday ajratish yagona emas.

Quyidagi tasdiq bizga ko‘p kerak bo‘ladi.