2. Ikki karrali integralning tadbiqlari

15.5-misol. sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini toping.
Yechish.Berilgan jism yuqoridan tekislikning qismi bilan, quyidan Oxy tekislikning parabola va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan bo’lagi bilan, yon tomondan Oz o’qiga parallel silindrik sirt bilan chegaralangan. (15.19) formulaga ko’ra bu jismning hajmi quyidagicha bo’ladi:


15.6-misol. Har bir nuqtasida massa zichligi shu nuqtadan gipotenuzasigacha bo’lgan masofaga proporsional bo’lgan teng yonli to’g’riburchakli uchburchak(S shakl)ning og’irlik markazi ning koordinatalarini toping.
Yechish. ABC teng yonli to’g’riburchakli uchburchakning gipotenuzasi AB = 2a bo’lsin. U holda koordinata sistemasiga nisbatan AC va BC katetlarning tenglamalari va bo’ladi. Masala shartiga ko’ra uchburchakning nuqtasida zichlik bo’ladi. (15.21) formulaga asosan ni topamiz, buning uchun uchburchakning static momentlari va massasi larni topamiz:

Demak, bo`lib, .

Agar uchburchakning hamma nuqtalarida massa tekis taqsimlansa, uning og’irlik markazi meridianlari kesishish nuqtasi da joylashadi.
Mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash (10 daqiqa).
Mavzu bo‘yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o‘z ifodasini topgan o‘z – o‘zini tekshirish savollari va muammoli topshiriqlardan ba’zilari taklif etiladi va talabalarning javoblari eshitiladi, so‘ngra, mavzu bo‘yicha o‘z– o‘zini tekshirish savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga uyga vazifa sifatida beriladi (ular ma’ruza matnining oxirida keltirilgan).

15.2-mavzu bo’yicha muammoli topshiriqlar
1. Agar D soha quyidagicha: a) chiziqlar bilan chegaralangan
to’g’ri to’rtburchak; b) ellips; c) to’g’ri chiziq va parabola
bilan chegaralangan bo’lsa, integralni hisoblang.
2. Agar (D) soha: a) ; b) ;
c) chiziqlar bilan chegaralangan bo’lsa, uning yuzini hisoblang.
3. a) b) ;
sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini toping.
4. a va b tomonlarga ega bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning:
a) a tomoniga nisbatan;
b) uchlaridan biriga nisbatan;
c) diagonallari kesishish nuqtasiga nisbatan inersiya momentini toping.
5. Quyidagi bir jinsli jismlarning og’irlik markazi koordinatalarini toping:
a) yarim shar;
b) tekisliklar bilan chegaralangan tetraedr;
c) sfera va tekisliklar orasidagi shar qatlami.