2. 1-amaliy mashg’ulot: Gruppa va uning sodda xossalari. Gruppalar gomomorfizmi

=j₂(j₁(y))=j₂(y)=x(j₂oj₁)oj₂=j₁; [j₂o(j₁oj₂)](x)=j₂o(₁(x)))=

=j₂(j₁(y))=j₂(y)=xj₂o(j₁oj₂)= j₁

bulardan (j₂oj₁)oj₂=j₂o(₁oj₂) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni ham shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin. 2⁰: G da j! Neytral element vazifasini bajaradi. 3⁰: f, va f₂ larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.

(j₂oj₂)(x)= j₂(j₂)(x)=j₂(y)=xj₂oj₂=j₁oj₁

(j ₂oj ₂)(y)=j ₂(j ₂)(y)=j ₂(y)=yj₁(y) j ₂oj ₂=

(j₁oj₁)(x)=j₁(j₁(x))=j₁(x),(j₁oj₁)(y)=j₁(j₁(y))=j₁(y)j₁oj₁=j₁

Demak, j₁^-1=j₁j₂^-1=j ₂4⁰: j₁oj₂=j₂oj₁ ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, (G; ⁰ , j₁) Abel gruppasi ekan.

G gruppa bo‘lsa, (aG) e*a=a. Va a'*a=e tengliklar ham o‘rinli bo‘ladi.

Ta’rif. G gruppa GN bo‘lib, agar N to‘plam G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa, u holda N gruppa G gruppaning qism gruppasi deyiladi.

Misol 6. (2Z; + , 0) gruppa (Z; + , 0) gruppaning qismgruppasi bo‘ladi.

Ta’rif. Aytaylik (G₁; * ) va (G₂; ) gruppalar bo‘lsin.

Agar j:G₁G₂ - syur’ektiv akslantirish "(a,bÎG) j(a*b)=j(a)j(b) shartni qanoatlantirsa, G₁ gruppa G₂ gruppaga gomomorf deyiladi,

j- akslantirish esa bu gruppalarning gomomorfizmi deyiladi.

Agar j:G₁G₂ – biektiv akslantirish bo‘lsa, u holda G₁ va G₂ gruppalarning gomomorfizmi a ni izomorfizm deyiladi.

Misol. 7. Aytaylik G₁=Z, G₂={2ⁿ::nÎ Z} bo‘lsin, uholda (Z; +, 0), (G₂;  , 1) lar gruppalar bo‘ladi.

"(nÎZ) j(n)=2ⁿ, j:ZG₂ biektiv akslantirish, shu bilan birga , " (n,mÎ Z) j (n+m)=2^p+m=2ⁿ-2^m=j(n)j (m) ekanligidan (Z; + , 0) gruppa {G₂;  , 1) gruppaga izomorf. j esa ularning izomorfizmi bo‘ladi.

2.2-amaliy mashg’ulot: Halqa va uning sodda xossalari. Butunlik sohasi. Halqalar gomomorfizmi.
Halqa tushunchasi ham algebraning muhim xususiy ko‘rinishlaridan biridir.

Ta’rif. Agar E to‘plamda + va  binar algebraik amallarni aniqlangan bo‘lib u quyidagi shartlarni (halqa aksiomalarini) qanoatlartirsa (E, +,»,0) algebraik sistemani halqa deyiladi.

l.a,bEa + b=b + a; 2.a,b,cE a + (b + c);

3. 0E, aE a+0=a; 4.aE(-a)E a+(-a) = 0;

5.a,bcE a(bc)=(ab)c; 6.a,bcE a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca
Arap E halqada 7⁰. a.bE ab=ba shart bajarilsa, bu holda E ni kommutativ halqa deyiladi. (E,+,0)-E halqaning additiv gruppasi deyiladi.

Agar halqada ko‘paytirish amaliga nisbatan neytral element mavjud bo‘lsa, ya’ni

7. 1E, 10, aEa1=1a=a bo‘lsa, bu holda E ni birlik elementga ega bo‘lgan halqa deyiladi.

Agar ikkita sonning ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytuvchilarning kamida bittasi nolga teng bo‘ladi. Bu xossani istalgan halqa uchun tarqatib bo‘lmaydi, ba’zi halqalardan noldan farqli elementlarning shunday juftini ko‘rsatish mumkinki, ularning ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, ya’ni a0va b=0 lekin a-b =0; bunday xossaga ega bo‘lgan elementlarni nolning bo‘luvchilari deyiladi.

Nolning bo‘luvchilariga egabo‘lgan halqalarga misollarini, tabiiy, sonlar halqalar ichidan topish mumkin emas.

Ta’rif. Birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmasa uni butunlik sohasi deyiladi.

Misollar: 1. (Z; +; ; 0) algebraik sistemasi birlik elementiga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi.

(Z, ;+;;0) algebraik sistemasi halqa bo‘ladi.

K={: a,b Q) to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish ,K lar uchun + =, -- ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (K,+, ) algebraik sistema <1,1> birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa bo‘ladi, bu halqa <1,0><0,1>=<0,0>, Bu yerda <1,0><0,0><0,1><0,0>. Bu halqada <0,0> va <0,b> lar ko‘rinshidagi elementlar nolning bo‘luvchilari bo‘ladi.

Ta’rif. E halqa F esa uni bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami bo‘lsin, agar F to‘plam E da aniqlangan amallarga ko‘ra o‘zi halqa bo‘lsa, F halqa E halqaniig qism halqasi deyiladi.

Misol. 3. (Z; +; ; 0) butun sonlar halqasi (Z, ;+;;0) halqaning qism halqasi bo‘ladi.

Ta’rif. Agar (R; + ,  , 0) kommutativ halqa va bu halqada

1) 1P 10 (a0P) a1=a;

2)(aP) a0, (a^-1P) aa^-1=1

shartlar (aksiomalar) o‘rinli bo‘lsa, u holda (P; +, , 0,1) algebraik sistemasi maydon deyiladi.

Ta’rif. P maydon, P₁P bo‘lib, (P₁;+,  , 0, 1) maydon bo‘lsa, u holda P₁ ni P maydonning qism maydoni deyiladi.

Ta’rif. (F; +, , 0,1) maydon, (K;+, , 0, 1) butunlik sohasi bo‘lsnn. Agar

1. 
   KF ning qism halqasi bo‘lsa;
   
2. 
   " (xF) (a,bK)x=ab^-1 tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda F ni K butunlik sohasining nisbatlari maydoni deyiladi.
   

Ta’rif. Ratsional sonlar maydoni deb, butun sonlar halqasining nisbatlari maydoniga aytiladi va uni Q kabi belgilanadi.

Misollar: 4. M={a,b} to‘plamni qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:

aa=bb=a, ab=ba=b, a©a=a©b=b©a=a, b©b=b bulardan bevosita ko‘rinadiki, a- (qo‘shish) amaliga nisbatan, b esa © (ko‘paytirish) amaliga nisbatan neytral element bo‘ladi. Tekshirib ko‘rish mumkinki (M; 0, ©, a,b) – maydon bo‘ladi.

9. halqa bo‘ladi. Lekin u maydon bo‘lmaydi.

Masalan, 3+2 Z , ammo (3+2 )^-1=- .

Demak, (Z ;+, ,0,1) maydon bo‘lmaydi.

Halqa va maydonlarning gomomorfizmi (izomorfizmi), algebraik sistemalarning gomomorfizmi (izomorfizmi) ning xususiy holi sifatida qaraladi.

10. G = { | a, b  Q, a² + b²> 0} to’plаmni hаlqа tаshkil etishini isbоtlаng.

Yechish. Hаlqа tа’rifigа ko’rа bеrilgаn to’plаmdа qo’shish vа ko’pаytirish аmаllаri аniqlаngаn bo’lishi hаmdа bu аmаllаrgа nisbаtаn quyidаgi хоssаlаr bаjаrilishi kеrаk:

1. -аdditiv аbеl gruppа.

2. -mulьtiplikаtiv gruppоid.

3. (A,A₁,A₂G), (A(A₁+А₂)=aa₁ +Аa₂;(A₁+a₂)А=a₁А+a₂А).

Yuqоridаgi 2-misоldа G to’plаm undа аniqlаngаn qo’shish аmаligа nisbаtаn аdditiv gruppа tаshkil etishi isbоtlаngаn. 1-misоldа G to’plаmdа ko’pаytirish аmаli аniqlаngаn. Dеmаk, 3-shаrtni hаmdа qo’shish аmаlining kоmmutаtivligini isbоtlаsh qоldi.

1.G to’nplаmning A= , a₁ = , a₂ = elеmеntlаri bеrilgаn bo’lsin.

U hоldа

A(A₁ +А₂)= ( + ) = =

= =

=(rаsiоnаl sоnlаr to’plаmidа ko’pаytirish qo’shishgа nisbаtаn distributivligidаn)=

= =

= =

= + =aa₁ +Аa₂.

Ko’pаytirish аmаli kоmmutаtivlik xоssаsigа egа emаs. Shuning uchun distributivlikning ikkinchisini-chаpdаn ko’pаytirishni hаm isbоtlаymiz:

2.(A₁+a₂)А=( + ) = =

= =

= =

= =

= + = a₁А+a₂А.

3. To’plаmning ixtiyoriy ikkitа A₁,A₂ elеmеntlаri bеrilgаn bo’lsin: a₁ = , a₂ = , uhоldа a₁+a₂= + = = (rаsiоnаl sоnlаr to’plаmidа qo’shish аmаli kоmmutаtivligidаn)=

= =А₂+А₁ . Dеmаk, hаlqа.