2- amaliy mashg’ulot. Munosabatlar ustida

Misоl 2.

A  {a₁, a₂} vа
B  {b₁ ,b₂ ,b₃ }to’plamlar berilgan bo‘lsin. U holda

^{A  B } {a₁ , a₂ } {b₁ ,b₂ ,b₃}  {( a₁ , b₁ ),( a₁ ,b₂ ),( a₁ , b₃ ),( a₂ ,b₁ ),( a₂ ,b₂ ),( a₂ , b₃ )}

Tа’rif 2.

R  A B
dekart ko`paytmaga to`g`ri dekart ko`paytma,

R^1  B  A
ifodaga teskari dekart ko`paytma deyiladi.

Dekart ko’paytmaning xossalari:

1⁰. Dekart ko’paytma kommutativ emas:
A  B  B  A
2⁰. Dekart ko’paytma assotsiativ emas:
A B C  AB  C.

^{Tа’rif 3.} P  A₁  A₂ ... A_n
dekart ko’paytmaning ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan

^P qism to`plamiga
A₁ , A₂ ,..., A_n
to‘plаmlаr orasida aniqlangan n o‘rinli

munosаbаt yoki n o‘rinli ^P - predikаt deyiladi.

Agar _a₁ ,a₂ ,...,a_{n }  P
bo`lsa, ^P munosabat ^{a1, a2 ,..., an }
elementlar uchun

rost munosabat deyiladi va
Pa₁, a₂ ,..., a_n   1
bo`ladi, agar ^a₁ ^,a₂ ^,...,a_n ^{  P}

bo`lsa, <sup>P</sup> munosabat yolg`on munosabat deyiladi va
^{Pa1, a2 ,..., an } kabi yoziladi.
Pa₁, a₂ ,..., a_n   0
yoki

Tа’rif 4. Agar P  A₁  A₂ ... A_n
n o‘rinli munosаbаtda n=1 bo`lsa, ^P

munosаbаt А₁ to‘plаmning qism to‘plаmi bo‘lаdi vа unаr munosаbаt (bir o`rinli munosabat) yoki xossа deyilаdi.
n=2 bo`lganda esa binаr munosаbаt (ikki o‘rinli munosаbаt) yoki moslik
deyilаdi.
Agar P  A² bo`lsa, <sup>P</sup> ga <sup>A</sup> to`plamning elementlari orasidagi munosabat deyiladi.


Misol 3. Unar munosabatlarga misollar keltiramiz:

1. 
   A₁  Z
   

butun sonlar to’plamidan iborat bo`lsin.
P_x_  Z
unar munosabat

Р(х)=1 shart bilan aniqlansin, bunda х – juft son, u holda ^P munosabat quyidagi ko`rinishda bo`ladi: Р={...;-4;-2;0;2;4;...}.

2. 
   A₁  R
   

haqiqiy sonlar to`plamidan iborat, P  R
munosabat Р(х)=1 shart

bilan aniqlansin, bunda х – irratsional son bo`lsin, u holda <sup>P</sup> munosabat quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi:
^P_ ²_ ^{ P}^e ^{ P}^  <sup> 1 ,


P</sup>⁰ ^{ P}¹ ^{ P 1  0 .
} 3^

3. 
   A₁ – barcha odamlar to`plami, bo`lsin. Javob: Р(х)=1 bo`ladi.
   

P_x_  A₁ munosabatda x – erkak kishi

4. 
   A₁ – tekislikdagi barcha uchburchaklar to`plami bo`lsa, x – teng yomli uchburchaklar bo`lsin. Javob: Р(х)=1 bo`ladi.
   

Misol 4. Binar munosabatlarga misollar keltiramiz:

1. 
   P₁  Z  Z
   

binar munosabat Р(х,y)=1 shart bilan aniqlansin, bunda х-y 3

ga bo`linadigan sonlar, u holda <sup>P</sup> munosabat quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
Р={(4;1);(5;2); (6;3);...}.

2. 
   P₂  Z  Z
   

munosabat Р(х,y)=1 shart bilan aniqlansin, bunda х+y 2 ga

bo`linadigan sonlar bo`lsin, u holda ^P munosabat quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi:

Р={(1;1);(0;2); (5;3);...}.

3. 
   P₃  R  R
   

munosabat , P₃ x, y  1 shart bilan aniqlansin, bunda х-y

ratsional son. U holda quyidagilar o`rinli:

^P3^1;4 ^{ P3}_
 2;
²_ ^{ P3}^{e;e  1} ^{ 1 ,}

P_{3 }1;
^P3 ^
2_ ^{ P3}^1;e ^{ P3}^1;  ^{ 0 .
2;} _ ^{ P3}^e;  ^{ 0}

4. 
   ^A – to‘plаm elementlаri kitob nаshriyotlаri nomlаri bo‘lsin.
   

B - to‘plаm elementlаri ushbu kitoblаrni sotаdigаn firmаlаr bo‘lsin, u holdа ^P -munosаbаtgа nаshriyot vа firmаlаr o‘rtаsidа tuzilgаn shаrtnomаlаr to‘plаmi deb, mа‘no berish mumkin.


Tа’rif 5. Dekаrt ko‘pаytmаning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmаgаn qism to‘plаmigа
munosаbаt deyilаdi.

^P -munosаbаt bo‘lsin, u holdа
P  А  В
bo‘lаdi.
 x,
y  R
yozuv o‘rnigа

ko‘pinchа o‘qilаdi.
x P y
yozishаdi vа “x element y gа nisbаtаn ^P munosаbаtdа” deb

Misol 5.

А  {1,
2 , 3} vа
В  {1 ,
2} bo‘lsin, u holdа

А  В  { 1,1 ,  1, 2 ,  2 ,1 ,  2 ,
2 ,  3 , 1 ,  3 ,
2 }

Munosаbаt 1)
R₁ { 1, 1 ,  3,
2 }

²⁾ R₂  { 1, 1 ,  1,
2 ,  2,2 }
ko‘rinishdа bo‘lishi mumkin.

Tа’rif 6. P  A  B
binar munosabat uchun P^1  B  A

teskari

munosabat deyiladi, agar ixtiyoriy x  A
va y  B
elementlar uchun
Px, y  1

dan
P ^1 y, x  1 kelib chiqsa.

Tа’rif 7.

x  y
bo`lganda
I _A x, y  1
shart bajarilsa, I _A  A  A
binar

munosabatga dioganal munosabat yoki ayniy munosabat deyiladi. Ayniy

A A
munosabat uchun I ^1  I tenglik o`rinli.

Binar munosabat, ya’ni moslik haqida alohida to’xtalib o’tamiz, chunki munosabatlar orasida eng ko’p uchraydigani bu moslikdir.

^X va ^Y to’plamlar berilgan bo’lsin.
^X va ^Y to’plamlar elementlarini qandaydir usul bilan mos qo’yib,

tartiblangan juftliklarni hosil qilaylik. Agar har bir
x  X
element uchun
y  Y

element mos qo’yilgan bo’lsa, u holda ^X va ^Y to’plamlar o’rtasida moslik o’rnatildi deyiladi. Moslikni berish uchun quyidagilarni ko’rsatish zarur:

1. 
   elementlari boshqa biror to’plam elementlari bilan mos qo’yiladigan ^X
   

to’plam;

2. 
   elementlari ^X to’plam elementlari bilan mos qo’yiladigan ^Y to’plam;
   

3. 
   moslikni aniqlovchi qoida, ya’ni
   

R  X  Y
to’plam, uning elementlari

moslikda qatnashuvchi barcha ^{(x, y)} juftliklardan iborat.

Shunday qilib, ^f moslik
f  X ,Y , R 
to’plamlar uchligidan iborat bo’ladi,

bunda
R  X  Y . Agar
(x, y)  R
bo’lsa, ^y element x elementga mos qo’yilgan

deyiladi.
Misol 6. Laboratoriya xonasida 8 ta laboratoriya qurilmasi bor:


^{X  x1, x2 ,..., x8}.

Laboratoriya ishini bajarish uchun 10 nafar talaba 5 ta guruhga ajralishdi:

^{Y  y1, y2 , y3 , y4 , y5}. U holda quyidagicha moslik bo’lishi mumkin:

^{f  X ,Y , (x1, y2 ), (x2 , y1), (x3 , y3 ), (x5 , y4 ), (x8 , y5 )}, bu yerda ^{x1, x2 ,...x8 } -

moslikning aniqlanish sohasi, ^{y1, y2 , y3 , y4 , y5 }
bo’ladi.

Moslik 4 xilda bo’ladi:

- moslikning qiymatlari sohasi

1. 
   Birga-bir qiymatli moslik, bu ^X va ^Y to’plamlar elementlari orasidagi shunday moslikki, bunda ^X ning har bir elementiga ^Y ning bitta yagona elementi mos qo’yiladi. Masalan, musbat butun sonning kvadrati butun musbat sonning o’zi bilan birga-bir mos qo’yilgan.
   

2. 
   Birga-ko’p qiymatli moslik, bunda ^X ning bitta elementiga ^Y danikkita va undan ortiq element mos qo’yilgan bo’ladi.
   

Masalan, ^X - butun musbat sonlar to’plami bo’lsin:
X  4, 9, 16

^Y - ^X dan olingan kvadrat ildiz bo’lsin: ^{Y   2, 2,}
- 3, 3,
- 4,
^4.

3.