18- ma’ruza Elektronning spini

3. Spin operatorlari va ular o‘rtasidagi kommutativ munosabatlar.

Boshqa fizik kattaliklar kabi spin ham o‘z operatoriga ega. Spin ham real fizik kattalik bo‘lganidan uning operatori chiziqli va ermit xossasiga ega bo‘ladi. Agar bu operatorni bilan belgilasak, lar uning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari bo‘ladi. Elektron spini /2 spin operatorning xususiy qiymati bo‘lib hisoblanadi. SHuning uchun bu operator

(18.8)
ko‘rinishda yoziladi. Bu erda -Pauli matritsalari hisoblanadi. U holda operatorining tashkil etuvchilari
(18.9)
Elektron uchun spin operatori uning orbital mexanik momenti ga o‘xshash bo‘ganidan, (18.9) kompanentalar uchun kommutatsiya munosabatlari operator kompanentalari o‘rtasida mavjud bo‘lgan kommutatsiya munosabatlari kabi bo‘ladi
(18.10)
U holda (18.9) ga asosan -matritsa kompanentalari uchun
(18.11)
\munosabatlar o‘rinli bo‘lishini hamda bu matritsalarning o‘zaro antikommutativ ekanliklarini ko‘ramiz.
Elektron spinining Z-komponentasi , ya’ni ikkita qiymatga ega bo‘lgani uchun matritsalar ikki qatorli matritsalar hisoblanadi. Tasavvur nazariyasiga ko‘ra har qanday operator (masalan, ) o‘zining xususiy tasavvurida (bu erda “z”-tasavvurida ) diagonal matritsa bo‘lganligi uchun

ko‘rinishida beriladi va (18.9) ga ko‘ra
(18.12)
ko‘rinishdagi diagonal matritsa bo‘ladi. U holda (18.11) ga asosan
(18.13)
Spin operatori kvadrati uchun

tengligidan ekanligini topamiz. (18.12) va (18.13) lardan Pauli matritsalarining o‘zaro antikommunativ xossasini topamiz
(18.14)
4. Spin operatori va Pauli matritsasi.
Spin operatorlariga ikki qatorli matritsalar mos kelgani uchun ularning xususiy funksiyalari ham ikki qatorli matritsa hisoblanadi

Bu erda operatori xususiy qiymati, esa uning xususiy funksiyasi

xususiy qiymatga mos keluvchi xususiy funksiya
,
ga tegishli xususiy funksiya

ko‘rinishda yoziladi.
Misol tariqasida ning xususiy funksiyasi va xususiy qiymatini topaylik. SHartga ko‘ra
yoki
Bundan (18.15)
Bu tenglamalar echimi (18.15) koeffitsientlaridan tashkil topgan determinantning nolga teng bo‘lganida mavjud bo‘lishini bilamiz

Bundan , yoki ekanligi kelib chiqadi.
Bu ildizlarni ketma-ket (18.15) ga qo‘yib, topamiz:

ga tegishli xususiy funksiya xuddi shu yo‘l bilan topiladi va

ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bu xususiy funksiyalardagi koeffitsient xususiy funksiyalarni normallashtirish uchun xizmat qiladi. Haqiqatan, normallashtirish shartidan
olamiz.