16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi



Download 1,58 Mb.
bet2/20
Sana07.03.2021
Hajmi1,58 Mb.
#61095
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Bog'liq
3-mavzu amaliyot

Teorema-1. Agar funksiya



sohada aniqlangan uzluksiz bo’lib, uzluksiz va hosilalarga ega bo’lsa, u holda ushbu

(1)

Koshi masalasining yechimi uchun quyidagi tasdiqlar o’rinli:

1. -o’zgaruvchilarning uzluksiz funksiyasidan iborat bo’ladi.

2. uzluksiz funksiya bo’lib,

chiziqli tenglamani qanoatlantiradi.



Isbot. 1. Ixtiyoriy nuqtalarni olib, quyidagi

(2)

(3)

Koshi masalalarini qaraylik. Shu bilan bir qatorda, ularning yechimlarini mos ravishda va orqali belgilaylik.

Teorema shartiga ko’ra, va funksiyalar P sohada uzluksiz bo’lganliklari uchun shunday sonlari topilib,

tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu munosabatlardan foydalanib quyidagi



baholarni olamiz. Ushbu



integral tenglamalardan foydalanib



ayirmani baholaymiz:





Demak funksiya quyidagi

tengsizlikni qanoatlantirar ekan. Bunda, quyidagi



belgilashni olib, Cronuolla tengsizligidan foydalansak





baho hosil bo’ladi. Agar ixtiyoriy soni uchun sonini



deb tanlasak, u holda tengsizligi bajarilganda



bahoning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa yechimning o’zgaruvchilarga nisbatan uzluksiz ekanligini bildiradi. Teoremaning birinchi qismi isbotlandi.

2. Aytaylik (1) masalaning yechimi bo’lsin. U holda funksiya ushbu

(4)

Koshi masalasining yechimi bo’ladi. –yechimning orttirmasi bo’lgani uchun hamda

(5)

o’rinli ekanligini inobatga olib ushbu



tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikni



(6)

()

ko’rinishda yozish mumkin. Adamar lemmasiga (M.V. Fidaryuk “обыкновенные дифференсиальные уравнения” kitobining 106-108 betlari) ko’ra (6) tenglamaning o’ng tomonini quyidagicha yozish mumkin:



ya’ni


. (7)

Ushbu va funksiyalar bir xil (bitta) boshlang’ich shartarni qanoatlantirgani uchun

()

shartga ega bo’lamiz. (7) tenglamaning o’ng tomoni o’zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz va o’zgaruvchiga nisbatan uzluksiz differensiallanuvchi bo’lgani uchun Adamar lemmasiga asosan F, G funksiyalar ushbu uzluksiz funksiyalarning integralidan iborat. Yechimning parametrlarga uzluksiz bog’liqligidan funksiya kichik larda uzluksiz. Shuning uchun quyidagi chekli limit mavjud:

Yana Adamar lemmasiga asosan





munosabatlarga ega bo’lamiz. Demak, hosila quyidagi

(8)

differensial tenglamani va



()

boshlang’ich shartni qanoatlantirar ekan.



Misol-1. Quyidagi

(9)

masala yechimining hosilasini nuqtadagi qiymatini toping.

Yechish. Bu holda (8) tenglama ushbu



(10)

ko’rinishni oladi. Bu yerda . Agar bo’lsa, (9) masala quyidagi



ko’rinishni oladi. Bu Koshi masalasini yechib funksiyani topamiz.

Bundan foydalanib (10) masalani da

ko’rinishda yozish mumkin. Hosil bo’lgan chiziqli tenglamani yechib



ya’ni


topamiz.


Misol-2. Quyidagi

(11)

Koshi masalasi yechimining hosilasini nuqtadagi qiymatini toping.

Yechish. Qaralayotgan holda (8) tenglama



(12)

ko’rinishni oladi. holda (11) masala



ko’rinishda bo’lgani uchun bo’ladi. Bundan foydalanib (12) tenglama

ko’rinishga keladi. Chiziqli tenglamani yechib



, ya’ni

ekanligini topamiz.



Endi, ushbu

(13)

Koshi masalasining yechimini boshlang’ich shartga nisbatan silliqligini o’rganamiz.

Teorema-2. Aytaylik va funksiyalar



sohada uzluksiz bo’lsin. U holda, shunday soni topilib, (13) Koshi masalasining ushbu oraliqda aniqlangan yechimi uchun quyidagi tasdiqlar o’rinli:

1. –xususiy hosilalar uzluksiz funksiyalardan iborat bo’lib, mos ravishda ushbu

(14)

tenglamalarni qanoatlantiradi. Bu yerda



(15)

2. –aralash hosilalar uzluksiz.

Isbot. Avvalo ushbu

xususiy hosilani mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun quyidagi yordamchi



(16)

Koshi masalasini ham qaraymiz. Berilgan (13) Koshi masalasining yechimi oraliqda mavjud. Shu bilan bir qatorda (16) Koshi masalasining yechimi oraliqda mavjud. Bu yechimlar boshlang’ich shartlarga nisbatan uzluksiz bo’lgani uchun, ushbu



baho o’rinli, ya’ni da munosabat o’rinli bo’ladi.

Bundan tashqari (13) va (16) Koshi masalalari quyidagi



()

integral tenglamalarga ekvivalent. Shu bilan bir qatorda funksiyaga nisbatan ushbu

integral tenglamani ham qaraylik. Yuqoridagi integral tenglamalardan foydalanib quyidagi ayirmani hisoblaymiz:



ya’ni



bu yerda cheksiz kichik miqdor, ya’ni munosabat o’rinli bo’ladi, qachonki bo’lsa, bu esa da o’rinli. Oxirgi (17) tenglikni tengsizlikdan foydalanib, baholaymiz:

(18)

Bu yerda da yechimning boshlangich shartga uzluksiz bog’liqligidan

bo’lishi, bundan esa o’z navbatida



kelib chiqadi. Oxirgi (18) munosabatga Gronuolla tengsizligini qo’llasak quyidagi baho kelib chiqadi:





Bu bahodan da

bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa, o’z navbatida





ekanligini bildiradi. Bundan, ushbu xususiy hosilaning mavjudligi va

tenglik kelib chiqadi. Teoremaning qolgan bandlari ham xuddi shunday isbotlanadi.




Download 1,58 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish