16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

23-§. n-tartibli bir jinsli differensial tenglamani fundamental yechimlar yordamida aniqlash

Teorema-1. Agar ikkita

(1)

(2)

bir jinsli differensial tenglamalar umumiy F.Y.S ga ega bo’lsa, u holda

(3)

munosabatlar o’rinli bo’ladi. Bu yerda -uzluksiz funksiyalar.

Isbot. Faraz qilaylik (1) va (2) differensial tenglamalarning -funksiyalardan iborat bo’lsin. U holda (1) tenglikdan (2) ni ayirib quyidagi

(4)

differensial tenglamani hosil qilamiz. Avvalo, aniqlik uchun deylik. U holda shunday interval topilib, , o’rinli bo’ladi. So’ngra (4) tenglikning ikki tomoni , ga bo’lib

(5)

differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu differensial tenglama uchun -funksiyalar yechim bo’ladi. Lekin (5) differensial tenglama -tartibli bo’lgani uchun funksiyalar intervalda chiziqli bog’langan bo’ladi. Bu qarama-qarshilik, , ekanligini bildiradi. Xuddi shunday mulohaza yurgizish orqali

tenglik ham isbotlandi. Shunday qilib fundamental yechimlar sistemasi (F.Y.S.) bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamani yagona aniqlaydi.■

Endi (1) differensial tenglamani, uning fundamental yechimlari orqali qurish mumkinligini bayn qilamiz. Aytaylik ushbu funksiyalar (1) differensial tenglamaning fundamental yechimlaridan iborat bo’lsin, ya’ni

.

Biz izlayotgan bir jinsli n-tartibli chiziqli differensial tenglama

ko’rinishda bo’ladi, ya’ni

. 6)

Berilgan funksiyalarni birin ketin (6) tenglikdagi y(x) o‘rniga qo’yilsa, bu tenglama ayniyatga aylanadi. Bundan ko’rinadiki, funksiyalar (6) tenglamaning yechimlaridan iborat bo’ladi. Endi (6) determinantni (n+1)-ustun bo’yicha yoyamiz:

Bu tenglikning ikki tomonini quyidagi

determinantga bo’lib, ushbu

differensial tenglamaga ega bo’lamiz.

Bu yerda



(7)