15 Маъруза Чегаравий масалаларни ечиш усуллари

15 - Маъруза


Чегаравий масалаларни ечиш усуллари.


Режа .

1. 
   Системаларни интеграллаш .
   
2. 
   Чегаравий масалаларни ечиш усуллари .
   
3. 
   Отишма метод .
   
4. 
   Айирмали методлар .
   

Рунге-Кутт методлари ЭХМ ёрдамида хисоблаш учун кулай хисобланади. Чунки бу методнинг куйидаги яхши хусусиятлари бор.

1) аникликлари яхши (биринчи тартиблисидан бошкаларининг).
2) улар ошкор методлардирлар, яъни y_n+1 , олдин аникланган кийматлар оркали маълум формулалар оркали ошкор ифодаланади.
3) барча методларда кадамлар узгарувчи булиши мумкин: бу, ечим тез узгарадиган жойларда кадамни кичрайтириб, акс холда кадамни катта килиб хисоблашга имкон беради.
4) дастлабки хисоблашни турни танлаб, ни бериб, хисоблашни олдиндан маълум булган формулалар ёрдамида бажариш мумкин.
Бу хоссалар Рунге-Кутт методини ЭХМ ёрдамида хисоблаш учун кулай эканлигини курсатди. Шу сабабли бу метод ёрдамида системани ечишни караймиз. Умуман айтганда y ва f(x,y) ларни формал У ва F(X,Y) ларга алмаштириш кифоя.
Масалан,


иккита тенглама учун u ва ларни такрибий кийматларини y ва z оркали белгилаб, Рунге-Кутт методининг туртинчи тартиблисини куйидагича ёзиш мумкин:


бу ерда

Купгина хисоблаш программалари шу формулаларга асосланган.

Чегаравий масалалар


1. Масаланинг куйилиши.
Чегаравий масала - бу
₍₁₎
системанинг [a,b] кесмада биртадан куп нуктасида кушимча шартлар куйилган хусусий ечимини топишдан иборат. . Чегаравий масалаларнинг турли булишларига карамасдан улар асосан бирта сонли метод ёрдамида ечиладилар.
Чегаравий масалаларни сонли ечишга отишма ва айирмали методларни куллайдилар. Отишма методи,бу чегаравий масалани шу система учун Коши масаласига олиб келишдан иборат.
Айирмали методда эса чегаравий масала, тартиби жуда катта булган алгебраик тенгламалар системасига олиб келинади (номаълумлар тур нукталаридаги ечимнинг кийматларидан иборат).
Масала чизиклимас булган холда хар иккала метод хам итерацион методдан иборат.
2. Отишма методи. Бу чегаравий масалани худди уша система учун Коши масаласига келтиришдан иборат.
Бу методни чегаравий шартлари етарлича умумий булган иккита


_{дифференциал} тенгламалар системаси мисолида караймиз. ихтиёрий кийматни танлаб олиб чап шартни алгебравик тенглама сифатида караб уни каноатлантирадиган кийматни топамиз.
кийматларни (2) системага Коши масаласининг бошлангич шартлари сифатида караб, Коши масаласини исталган сонли метод ёрдамида ечамиз. киймат шундай танланганки топилган ечим чап чегаравий шартни каноатлантиради. Аммо бу ечим унг чегаравий шартни каноатлантирмайди, уни унг чегаравий шартнинг чап томонини -нинг функцияси сифатида карасак:

умуман айтганда нолга айланмайди. Лекин , агар тенгламани ечсак, унда киймат аникланади. Бу алгебраик тенгламани исталган сонли метод ёрдамида ечиш мумкин. Лекин функциянинг хар бир янги кийматини топиш (2)-системани сонли ечишни талаб килади. Шу сабабли, тенглама илдизини тез топадиган методни куллаш максадга мувофик.