15- mavzu Egri chiziqli integrallar

2.2.6. Grin formulasi


soha berilgan bo’lib, uning chegarasi bo’lakli-silliq chiziqdan iborat bo’lsin. yopiq kontur bo’yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan shu kontur bilan chegaralangan soha bo’yicha olingan ikki karrali integral orasidagi bog’lanishni aniqlaymiz.
1-teorema. Agar va funksiyalar sohada o’zlarining xususiy
hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsa, u holda
(2.47)
formula o’rinli bo’ladi.
(2.47) formulaga Grin formulasi deyiladi
Isboti. Faraz qilaylik, yopiq kontur chegaralangan soha o’qi
yo’nalishi bo’yicha muntazam soha bo’lsin (19-shakl), ya’ni
.


soha bo’yicha ikki karrali integralni qaraymiz:


Bu integralning o’ng qismidagi integrallar tegishli egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integrallarga teng:

Bundan

yoki
. (2.48)
Ushbu
(2.49)
formula shu kabi isbotlanadi. Bunda yopiq kontur chegaralangan soha o’qi
yo’nalishi bo’yicha muntazam soha bo’ladi (20-shakl), ya’ni
.
(2.49) tenglikdan (2.48) tenglikni hadma-had ayirib isbotlanayotgan (2.47) formulani
hosil qilamiz.

Agar nomuntazam soha bo’lsa, u holda uni chekli sondagi muntazam sohalarga ajratish orqali Grin formulasi isbotlanadi.
5-misol. integralni hisoblang,
bu yerda aylana.
Y e c h i s h. funksiyalar va ularning
xususiy hosilalari doirada uzluksiz.
Shu sababli Grin formulasiga ko’ra

6-misol. integralni nuqtadan nuqtagacha to’g’ri chiziq va parabola bo’yicha hisoblang.
Y e c h i s h 1) Integralni to’g’ri chiziq bo’ylab hisoblaymiz:


2) Integralni parabola bo’ylab hisoblaymiz:

Misoldan ko’rinadiki, ikkinchi tur egri chiziqli integralning qiymati umuman
olganda va nuqtalarni tutashtiruvchi integrallash yo’liga bog’liq bo’ladi.
Qanday shartlar bajarilganda ikkinchi tur egri chiziqli integralning qiymati integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi degan savolga javob beradigan teoremani isbotsiz keltiramiz.