15- mavzu Egri chiziqli integrallar

2-ta’rif Agar (2.38) integral yig’indining dagi chekli limiti egri chiziqning bo’linish usuliga va bo’laklarda nuqtani tanlash usuliga bog’liq bo’lmagan holda mavjud bo’lsa, u holda bu limitga funksiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrali (yoki koordinata bo’yicha integrali ) deyiladi va bilan belgilanadi.
Shunday qilib,
.
va o’zgaruvchilar bo’yicha va egri chiziqli integrallar ham shu kabi ta’riflanadi.
Agar uchta o’zgaruvchilar bo’yicha egri chiziqli integrallar mavjud bo’lsa,
u holda ushbu
(2.39)
yig’indiga umumiy ikkinchi tur egri chiziqli integral deyiladi.
integral ostidagi ifoda va vektorlarning skalyar ko’paytmasidan iborat. Shu sababli vektor
funksiyaning umumiy egri chiziqli integralini quyidagicha yozish mumkin:
,
bu yerda egri chiziq nuqtasi radius vektorining differensiali.
Agar yopiq egri chiziqdan iborat bo’lsa, u holda ( ) yopiq kontur bo’yicha olingan umumiy egri chiziqli integral aylanib o’tish yo’nalishi ko’rsatilgan
holda ushbu

ko’rinishda belgilanadi.
Agar yopiq konturni aylanib o’tish soat strelkasi yo’nalishiga teskari bo’lsa,
kontur bilan chegaralangan soha aylanib o’tuvchi nuqtaga nisbatan chap tomonda qoladi va integrallash yo’nalishi musbat yo’nalish deb ataladi. Bunga teskari aylanib o’tishga manfiy yo’nalish deyiladi
Agar egri chiziq tekislikda yotsa va funksiyalar ga
bog’liq bo’lmasa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli integrallar quyidagi ko’rinishlarga
ega bo’ladi:
.
Agar kuch ta’sirida moddiy nuqta egri chiziq bo’ylab ko’chayotgan bo’lsa, u holda umumiy ikkinchi tur egri chiziqli integral son jihatidan
kuchning ko’chish vektori bo’yicha bajargan ishiga teng bo’ladi (ikkinchi tur
egri chiziqli integralning mexanik ma’nosi), ya’ni
(2.40)
Bundan tashqari yopiq kontur bilan chegaralangan tekis figuraning yuzasi
son jihatidan ushbu
, , (2.41)
ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning biri bilan aniqlanadi (ikkinchi tur egri chiziqli integralning geometrik ma’nosi).
Ikkinchi tur egri chiziqli integral uchun ham birinchi tur egri chiziqli integraldagidek mavjudlik teoremasi isbotlangan.
Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi tasdiqlar bevosita kelib chiqadi:
1)

2) Agar yoy o’qqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq
kesmasidan iborat bo’lsa, u holda

3)

4) ikkinchi tur egri chiziqli integrallar birinchi tur egri chiziqli integrallarning hamma xossalariga ega bo’ladi.