15- mavzu Egri chiziqli integrallar

15- mavzu Egri chiziqli integrallar


2.2.1. Birinchi tur egri chiziqli integral


funksiya silliq egri chiziqning har bir nuqtasida aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
egri chiziqni ixtiyoriy ravishda nuqtalar b ilan uzunliklari bo’lgan ta bo’lakka (yoyga) bo’lamiz. , egri chiziqning uzunligi (16-shakl). Har bir bo’lakda nuqtani tanlab, bu nuqtada funksiyaning qiymatini hisoblaymiz va uni ga ko’paytirib, barcha shunday ko’paytmalarning yig’indisini tuzamiz:
(2.30)
Bu yig’indiga funksiya uchun yoy bo’yicha integral yig’indi deyiladi.
1-ta’rif. Agar (2.30) integral yig’indining dagi chekli limiti egri chiziqni bo’laklarga bo’lish usuliga va bu bo’laklarda nuqtani tanlash usuliga bog’liq bo’lmagan holda mavjud bo’lsa, u holda bu limitga funksiyaning birinchi tur egri chiziqli integrali ( yoki yoy uzunligi bo’yicha integrali ) deyiladi va bilan belgilanadi.
Demak,
.
Birinchi tur egri chiziqli integral uchun ham karrali integrallardagidek mavjudlik
teoremasi isbotlangan.
Agar egri chiziqning har bir nuqtasida bo’lsa, u holda birinchi tur egri chiziqli integral son jihatidan egri chiziqning uzunligiga teng bo’ladi, ya’ni
. (2.31)
Bu ifoda birinchi tur egri chiziqli integralning geometrik ma’nosini bildiradi.
Agar integral ostidagi funksiya moddiy egri chiziqda massa taqsimotining zichligi bo’lsa, u holda bu funksiyaning birinchi tur egri chiziqli integrali
egri chiziqning massasiga teng bo’ladi, ya’ni
(2.32)
Bu ifoda birinchi tur egri chiziqli integralning mexanik ma’nosini anglatadi.
egri chiziqning har bir nuqtasida bo’lsin. U holda bu funksiyaning birinchi tur egri chiziqli integrali son jihatidan yasovchilari egri chiziq nuqtalaridan o’tuvchi va o’qqa parallel bo’lgan, quyidan yoy bilan, yuqoridan silindrik sirtning sirt bilan kesishish chizig’i bilan, yon tomonlaridan va nuqtalardan o’tuvchi va o’qqa parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan silindrik sirt bo’lagining (17-shakl) yuzasiga teng bo’ladi, ya’ni
. (2.33)
yoyning uzunligi , nuqtalardan qaysi biri yoyning boshi va qaysi biri uning oxiri uchun qabul qilinishiga bog’liq bo’lmaydi.
Shu sababli

Birinchi tur egri chiziqli integralning xossalari aniq integralning mos xossalaridek
isbotlanadi. Bu xossalarni isbotsiz keltiramiz:
,

Agar bo’lsa, u holda
.
Agar egri chiziqning har bir nuqtasida bo’lsa, u holda
.
Agar funksiyaning yoy uzunligi bo’yicha integrali imavjud
bo’lsa, u holda
.
Agar egri chiziqning har bir nuqtasida funksiya uzluksiz bo’lsa,
u holda shunday nuqta topiladiki
.