14-Mavzu: Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari: Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari. Lopital qoidasi

11-Teorema (Koshi teoremasi). va funktsiyalar [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funktsiyalar (a,b) intervalda chekli hosilalarga ega bo’lib, uchun bo’lsa, u holda shunday c nuqta (c

topiladiki

=

bo’ladi.

Isbot. (16) tenglik ma’nogo ega bo’lishi uchun g bo’lishi kerak. Bu

esa teoremadagi g’(x) shartdan kelib chiqadi.

Endi f(x) va g(x) funktsiyalar yordamida

F(x)=

funktsiyani tuzaylik. Bu funktsiya [a, b] segmentda aniqlangan uzluksiz bo’lib, (a,b) da

hosilaga ega.

So’ngra F(x) funktsiyaning x=a, x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:

F(a)=F(b)=0

Demak, F(x) funktsiya [a,b] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun shunday c nuqta (a topiladiki,

bo’ladi. Shunday qilib,

0=

Bundan esa (16) tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.