14-ma’ruza Oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechishning sonli metodlari

2) Kо‘p qadamli ayirmali metodlarning approksimatsiya xatoligi.
(2)-ayirmali sxemaning approksimatsiya xatoligi yoki bog‘lanishsizligi deb,
(5)
funksiyaga aytiladi. Bu (2)-tenglamaga (1)-tenglamaning aniq yechimi ni quyganda hosil bо‘ladi. Approksimatsiya xatoligi tartibining koeffitsiyentlarni tanlashga bog‘liqligi masasasini о‘rganamiz.
Bunda barcha funksiyalar kerakli tartibli hosilaga ega deb hisoblaymiz funksiyalarni nuqtalar atrofida Teylor qatoriga yoyib


munosabatlarni hosil qilamiz.
Bu yoyilmalarni (5) ga quyib,

Oddiy shakl о‘zgartirilganidan sо‘ng
(6)
yoyilmaga kelamiz. Bundan kо‘rinadiki, agar
(7)
(8)
shartlar bajarilsa, approksimatsiya tartibi ga teng bо‘ladi.
(7) va (8) shartlar (3) bilan birgalikda ta noma’lumlarga nisbatan ta tenglamadan iborat. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tashqil etadi. Agar (3)-shartni inobatga olsak

tenglamaga ega bо‘lamiz.
(9)
sistemani hosil qilamiz.
Bu sistema noma’lumli ta tenglamadan ibrat, koeffitsiyentlar
(10)
formulalar orqali hisoblanadi. (9) sistema yechimga ega bо‘lishi uchun bо‘lishi kerak. Bu approksimatsiya tartibi olib keladi. Shunday qilib kо‘p qadamli ayirmali metodning xatolik tartibi ning eng yukorisi ga teng. (4)-Adams metodlari uchun -tartibli (9)-approksimatsiya shartlari
(11)
Bundan kо‘rinib tо‘ribdiki Adamsning oshkor metodlarining eng yuqori approksimatsiya tartibi ga teng. Oshkormas metodlarning eng yukori approksimatsiya tartibi ga teng.
3) Ayirmali metodlar tо‘rg‘unligi va yaqinlashishi.
2-Teorema.
Faraz qilamiz

xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari birlik doiraning ichida yoki chegarasida joylashgan bо‘lib, chegarada karrali ildizlari bо‘lmasin. Faraz qilamiz

bо‘lsin. Unda

bо‘lganda

bu yerda

va

tenglama yechimlari uchun

bunda
,

baxo о‘rinli.
Adamc metodi misollari.


qilib belgilaymiz. Faraz qilamiz qiymatlar allaqachon ma’lum bо‘lsinlar.Unda funksiya qiymatlari ham ma’lum bо‘ladilar. Bu nuqtalar oralig‘ida funksiyani Nyuton interpolyatsion kо‘phadi bilan almashtirib tenglamani oralig‘i bо‘ycha integrallaymiz. Natijada Adams metodi hosil bо‘ladi.