14-ma’ruza Oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechishning sonli metodlari

Runge - Kutta metodlari.

Metodlarning tavsifi.

(1)
Koshi masalasini qaraymiz.
Runge-Kuttaning -bosqichli oshkor metodi quyidagidan iborat. qiymat bо‘lsin. , koefitsiyentlar beriladi va



_.
fugksiyalar ketma-ket hisoblanadilar.
Undan sо‘ng
(2)
formuladan topiladi. , koeffitsiyentlar anikliq shartlaridan topiladilar. Masalan, (2)-dastlabki (1)-tenglamani approksimatsiya qilishi uchun bо‘lishi zarur. Ba’zi bir metodlarga alohida tо‘xtalamiz. bulsa 1-misolda karalgan Eyler sxemasi hosil bо‘ladi. bо‘lganda
(3)
metodlar majmuasini hosil qilamiz. (3) metodlar approksimatsiyaning parametrlarini tadqiq etamiz.
Oxirgi tengliklardan va larni orqali ifodasini almashtirib
(4)
tenglikka ega bо‘lamiz.
Approksimatsiya xatoligi ta’rifiga kura (3)-metodning approksimatsiyasi (4) dan ni aniq yechimi bilan almashtirishdan xosil bо‘lgan
(5)
ifodaga aytiladi.
va funksiyalarni yetarlicha silliq deb qarab approksimatsiya tartibini aniqlaymiz. Buning uchun (5) dagi barcha qiymatlarni Teylor formulasi buyicha nuqtada yoyib chiqamiz. Quyidagilarga ega bо‘lamiz.


(1) ga asosan

shuning uchun

Bundan kо‘rinib turibdiki, agar qilib olinsa, approksimatsiya tartibi birga teng bо‘ladi. Agar bunga qо‘shimcha ravishda talab qilsak, approksimatsiya tartibi ikkiga teng bо‘ladi. Shunday qilib, ikki bosqichli approksimatsiya tartibi ikkiga teng bо‘lgan bir parametrli Runge-Kutta metodi borligi aniqlandi.
Bu metodlar oilasini quyidagicha yozish mumkin.
(7)
Bundan
Xususiy xolda, bо‘lganda 3-misol kelib chiqadi. bо‘lganda ikkinchi tartibli

metod hosil bо‘ladi.
Uchinchi tartibli ikki bosqichli metod mavjud emas. Bunga ishonch xosil kilish uchun tenglamani qarash kifoY.
Approksimatsiya tartibi yuqori bо‘lgan Runge-Kutta metodlari misollari bor.
Uchinchi tartibli metod:



Uchinchi tartibli metod:



Tо‘rtinchi tartibli metod




Tо‘rtinchi tartibli metod
Runge-Kutta metodlardan ikkinchisi:




Keltirilgan metodlar Runge-Kutta metodlarining xususiy xollaridir.