13-мавзу. Функциялар системасининг тўлиқлиги ва ёпиқлиги. (2-соат) Режа: Тенг кучли функция

10-таъриф. Агар сиcтемадаги функциялар суперпозициясидан ҳосил бўлган функция яна шу системанинг элементи бўлса, у ҳолда бундай системага суперпозицияга нисбатан ёпиқ система деб айтилади.
11-таъриф. Суперпозицияга нисбатан ёпиқ бўлган ҳар қандай мантиқ алгебрасининг функциялар системасига функционал ёпиқ синф деб айтилади.
Равшанки, маълум бир хил хусусиятга эга бўлган функциялар системаси функционал ёпиқ синфни ташкил этади ва, аксинча, маълум функционал ёпиқ синфга кирувчи функциялар бир хил хусусиятга эга бўлган функциялардир. Қуйидаги функциялар системаси функционал ёпиқ синфларга мисол бўла олади:
а) бир аргументли функциялар;
б) ҳамма мантиқ алгебрасининг функциялари;
в) - чизиқли функциялар;
г) - ўз-ўзига иккитарафлама функциялар;
д) - монотон функциялар;
е) - нуль қийматни сақловчи функциялар;
ж) - бир қийматни сақловчи функциялар.
12-таъриф. Бўш синфдан ва мантиқ алгебрасининг ҳамма функциялари тўпламидан фарқ қилувчи функционал ёпиқ синфга хусусий функционал ёпиқ синф деб айтилади.
Шундай қилиб, функциялар системасининг тўлиқлиги учун бу системада ҳар қандай хусусий функционал ёпиқ синфга кирмовчи функция топилиши етарли ва зарурдир.
13-таъриф. Ўз-ўзидан ва мантиқ алгебрасининг ҳамма функциялари синфи дан фарқ қилувчи функционал ёпиқ синфларга кирмовчи хусусий функционал ёпиқ синфга максимал функционал ёпиқ синф деб айтилади.
Мантиқ алгебрасида ҳаммаси бўлиб бешта максимал функционал ёпиқ синф мавжуд:
- ноль сақловчи функциялар синфи, - бир сақловчи функциялар синфи, - ўз-ўзига иккитарафлама функциялар синфи, - чизиқли функциялар синфи.
Пост теоремаси. функциялар системасининг тўлиқлиги учун бу системада , , , , максимал функционал ёпиқ синфларнинг ҳар бирига кирмовчи камида битта функция мавжуд бўлиши етарли ва зарур (яъни шунда ва фақат шундагина тўлиқ система бўладики, қачонки у , , , , максимал функционал ёпиқ синфларнинг бирортасининг ҳам қисм тўплами бўлмаса).