13-мавзу. Функциялар системасининг тўлиқлиги ва ёпиқлиги. (2-соат) Режа: Тенг кучли функция

3-изоҳ. 4-таърифнинг а) қисмига асосан агар бўлса, у ҳолда ва умуман бўлганда .
5-таъриф. , , , , асосий элементар функцияларнинг суперпозициясига формула деб айтамиз.
0<1 муносабати орқали {0,1} тўпламини тартиблаштирамиз.
6-таъриф. ва қийматлар сатри бўлсин. қийматлар сатри қийматлар сатридан шунда ва фақат шундагина олдин келади деб айтамиз, қачон ёки ва қийматлар сатри устма-уст тушса, у ҳолда шаклида ёзамиз.
7-таъриф. ва ихтиёрий қийматлар сатри бўлсин. дан бажарилиши келиб чиқса, у ҳолда функция монотон функция деб айтилади.
8-таъриф. дан > муносабат келиб чиқса, у ҳолда номонотон функция деб айтилади.
Асосий элементар мантиқий функциялардан 0, 1, , , функциялар монотон функциялар бўлиб, , , , функциялар номонотон функциялардир.
1-теорема. Монотон функцияларнинг суперпозициясидан ҳосил қилинган функция яна монотон функция бўлади.
Исбот. монотон функциялар системаси ва шу системадаги функциялар суперпозициясидан ҳосил этилган функция монотон эканлигини исбот қилиш керак бўлсин. 0 рангли суперпозиция учун бу тасдиқнинг тўғрилиги аниқ, чунки системадаги ҳамма функциялар монотон функциялардир. рангли суперпозиция учун теоремадаги тасдиқ тўғри бўлсин. Унинг рангли суперпозиция учун ҳам тўғрилигини исботлаймиз.
, бўлсин.
;

функцияларнинг монотон эканлигини исботлаш лозим. Бу ерда ва лар ўзгарувчиларнинг бирортаси билан мос келиши мумкин.  функциянинг монотонлигидан нинг монотон функция эканлиги келиб чиқади. F функциянинг монотонлигини исботлаймиз. Бунинг учун F функциянинг иккита ^ ва ^ таққосланадиган қийматлар сатрини кўриб чиқамиз:
^=(
^=(
бўлсин. У вақтда эканлигини кўрсатишимиз керак. Қуйидагилар маълум:
, бу ерда бўлганда
, бу ерда бўлганда
 монотон функция ва дан келиб чиққанлигидан бўлади. Яъни , чунки  монотон функциядир.

эканлигидан рангли суперпозиция учун теорема исбот бўлди.
Демак, монотон функцияларнинг суперпозициясидан ҳосил қилинган функция яна монотон функциядир.
Конъюнкция ва дизъюнкциялар монотон функция бўлганлиги учун, теоремага асосан, уларнинг суперпозициясидан ҳосил этилган функция ҳам монотон бўлади.