13-ma’ruza Yuqori tartibli differensial tenglamalar (umumiy tushunchalar). Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Umumiy yechimning tuzilishi haqidagi teorema

Koshi 
t
eoremasi. (
Koshi masalasining mavjudligi haqidagi teorema) 
Agar 
(
)
1
n
−
o’zgaruvchili 
)
,...,
,
,
(
)
1
(
−

n
y
y
y
x
f
funksiya 
(
)
1
n
−
-o’lchovli fazodagi biror 
D
sohada uzluksiz bo‘lib, 
)
1
(
,...,
,
−

n
y
y
y
 bo’yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, 
u holda bu sohadagi har qanday 
)
1
(
0
0
0
0
,...,
,
,
−

n
y
y
y
x
nuqta uchun (1) differensial 
tenglamaning (2) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yagona 
)
(
x
y

=
yechimi 
mavjud bo‘ladi.
Endi 
n 
-tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi tushunchasini 
kiritamiz. 

---

Ta’rif 3.
n -tartibli differensial tenglamaning D sohadagi umumiy yechimi 
deb, n ta ixtiyoriy o’zgarmas 
1
2
,
,...,
n
C C
C sonlarga bog’liq bo’lgan shunday 
1
2
( ,
,
,...,
)
n
y
x C C
C

=
 funksiyaga aytiladiki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 
a) bu funksiya ixtiyoriy o‘zgarmas 
1
2
,
,...,
n
C C
C sonlarning har qanday 
qiymatlarida ham qaralayotgan differensial tenglamaning yechimi bo’ladi; 
b) ixtiyoriy berilgan 
 
(
1)
(
1)
0
0
0
0
0
0
(
)
,
(
)
, ...,
(
)
n
n
y x
y
y x
y
y
x
y
−
−


=
=
=
, 
0
0
(
1)
0
0
( ,
,
, ...,
)
n
x y y
y
D
−


 
boshlang‘ich shartlar uchun 
1
2
,
,...,
n
C C
C sonlarni shunday tanlash mumkinki, 
1
2
( ,
,
,...,
)
n
y
x C C
C

=
 funksiya ushbu shartlarni qanoatlantiradi.
Agar differensial tenglamaning yechimi ushbu 
1
2
( , ,
,
,...,
) 0
n
x y C C
C

=
ko‘rinishdagi oshkormas funksiya sifatida topilgan bo‘lsa, u holda bunday umumiy 
yechim differensial tenglamaning 
umumiy integrali
deb ataladi. 
Differensial tenglamaning umumiy yechimidan o’zgarmas 
1
2
,
,...,
n
C C
C
sonlarning aniq bir qiymatlarida topilgan har qanday funksiya differensial 
tenglamaning 
xususiy yechimi
deb ataladi. Biror xususiy yechimining koordinata 
tekisligida qurilgan grafigi berilgan differensial tenglamaning 
integral chiziqi
deb 
ataladi. 
Ta’rif 4. 
Yuqori tartibli (1) differensial tenglamaning (2) boshlang‘ich shartini 
qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish masalasiga 
Koshi masalasi
deyiladi. 
 
n 
-tartibli differensial tenglamani yechish deganda: 
1) uning umumiy yechimini toppish (agar boshlang‘ich shart berilmagan 
bo’lsa) yoki 
2) berilgan boshlang‘ich shartini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish 
(Koshi masalasini yechish) tusuniladi. 
Yechimini analitik topish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial 
tenglamalarni bir nechta asosiy tiplarga ajratish mumkin.
Ushbu differensial tenglamalar yechimlarini topish usullarini batafsil ko’rib 
chiqamiz.