|
13-ma`ruza mashg`uloti
n-tartibli arifmetik fazo. n-o’lchovli vektorlar sistemasi uchun chiziqli bog’liklik va chiziqli erklilik tushunchalari
Reja:
n-tartibli arifmetik fazo.
n-o`lchovli vektorlar sistemasi.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqliligi
Vektorlar sistemasining chiziqli ekliligi
Tayanch iboralar: arifmetik fazo, vektor, komponenta, vektor fazo, chiziqli bog`liq, chiziqli erkli, ort.
Mashg`ulotning maqsadi: talabalarda n-o`lchovli vektorlar sistemasi, ularning chiziqli bog`liqligi yoki bog`lanmaganligi haqidagi bilim v ako`nikmalarni shakllantirish.
Bizga bo’sh bo’lmagan to’plam va qandaydir natural son berilgan bo’lsin. to`plam deb, elementlari bo’lgan to’plamni qaraymiz. Biz elementni ko’rinishda yozib, vektor deb ataymiz. Bu yerdagi elementlarga vektorining kompanentalari (koordinatalari) va ixtiyoriy elementiga - komprnentasi (koordinatasi) deb ataymiz. Ko’p hollarda vektorni - o’lchamli vektor deb ham aytiladi. to’plamga esa to’plamning - o’lchamli dekart kubi deyiladi. to’plamda va vektorlar teng deyiladi, agar tengliklar o’rinli bo’lsa, aksincha vektorning mos koordinatalari teng bo’lgan vektorlarga teng vektorlar deyiladi.
kommutativ birlik halqa uchun dekart ko’paytmali - o’lchamli vektorlar to’plamida qo’shish amalini kiritamiz:
(1)
Hosil bo’lgan - o’lchamli vektor ya’ni to’plamga qarashli bo’ladi. Bu amalga nisbatan vektorlar to’plami abel gruppasini tashkil etadi. Bu yerda neytral element vazifasi
koordinatalar noldan iborat bo’lgan nol vektr va ixtiyoriy vektoriga vektor qarama - qarshi vektori bo’ladi.
Shunga asosan ayirma bo’ladi. Endi abel gruppasiga tashqi ko’paytma deb nomlangan ko’paytmani quyidagicha kiritamiz:
(2)
Bu ko’paytmadan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
(3)
(4)
(5)
.
Bu xulosalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
, (6)
bu yerda va va
, (7)
bu yerda va , .
Bundan tashqari, agar bo’lsa, yoki bo’ladi. Kiritilgan amallarga nisbatan vektor to’plami - o’lchamli arifmetik fazo yoki - o’lchamli fazo vektor fazo deyiladi. Agar bo’lsa, ga haqiqiy va agar bo’lsa, ga kompleks vektorli fazo deyiladi.
Endi bizga vektorlardan tuzilgan vektorlar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu vektorlarning algebraik yig’indisi
yana ga qarashli bo’lib, qandaydir vektorga teng bo’ladi, ya’ni
. (8)
Hosil bo’lgan vektorga vektorlarning chiziqli kombinasiya-sidan iborat bo’lgan vektor deb ataladi. Aksincha, va vektorlar uchun
(9)
bo’lsin. Agar
va
bo’lsa, u holda (9) tenglik
(10)
yoki
bir jinsli bo’lmagan noma’lumli ta chiziqli tenglamar sistemasi yechimining masalasiga, ya’ni agar tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lsa, (9) tenglamani qanoatlantiruvchi lar halqada mavjudligi va agarda tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lsa, (9) tenglik qanoatlan-tiruvchi elementlar halqada mavjud bo’lmaydi va demak biz aytamizki, vektor vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat emas.
Endi faraz qilaylik (9) tenglikda nol vektor bo’lsin, ya’ni
. (11)
U holda (11) tenglik
(12)
bir jinsli tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’ladi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi hama vaqt birgalikda va u agar birgalikda aniq bo’lsa, ya’ni aynan nol yechimga ega bo’lsa, (11) tenglik bo’lganda o’rinli va agar (12) tenglamalar sistemasibirgalikda aniqmas bo’lsa, ya’ni uning nollardan boshqa nol bo’lmagan yechimlari ham mavjud bo’lib, bu yechimlar uchun (11) tenglik o’rinli bo’ladi.
arifmetik fazoda vektorlar orasidagi chiziqli munosibatlarni o’rganish muhim ahamiyatga egadir.
TA’RIF 9.1. vektorlar sistemasiga chiziqli bog’lanmagan (erkli) vektorlar sistemasi deyiladi, agar (11) tenglik lar aynan bo’lganda o’rinli bo’lsa, agarda (11) tenglik larning kamida bittasi noldan farqli bo’lgan uchun o’rinli bo’lsa, u holda birinchi vektorlar sistemasiga ziziqli bog’langan (erksiz) vektorlar sistemasi deyiladi. Shuni ta’kidlaymizki vektor chiziqli erkli bo’ladi, chunki dan bo’ladi.
Bizga endi maydonda arifmetik fazo berilgan bo’lsin. U holda quyidagi teorema o’rinli.
TEOREMA 9.2. Agar vektorla sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda vektorlar sistemasining bizlar bir vektor qolganlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik
Tenglik da o’rinli bo’lsin. U holda bo’lib, bundan
tenglik hosil bo’ladi va demak vekior vektorlar sistemasidagi qolgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.
Bu teoremadan quyidagi natijani olamiz:
NATIJA 9.3. Agar vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u holda vektorlar sistemasidagi birontasi ham vektor qolganlarini chiziqli kombinasiyalaridan iborat bo’ladi.
Bu muhim tushunchani boshqa formasini ko’rsatishimiz mumkin, ya’ni agar vektorlar sistemasi biror vektor qolganlarini chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u holda bergar vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi. Haqiqatdan, agar masalan qolgan vektorlarni chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsa, ya’ni
tenglik qandaydir lar uchun o’rinli bo’lsa, u holda
tenglik noldan farqli element o’rinli va demak berilgan vektorlar sistemasi chizivli bog’langan.
Keltirilgan ta’rif va tasdiqlardan biz quyidagilarni aytib o’tamiz: noldan farqli har qanday vektor chiziqli, nol vektorni o’zi chiziqli bog’langan va umuman vektorlar sistemasida hyech bo’lmaganda bita vektor nol vektor bo’lsa, sistema chiziqli bog’langan va agarda ikkita va vektorlar proporsional bo’lsa, ya’ni dan tenglik o’rinli bo’lsa va vektorlar chiziqli bog’langan va umuman vektorlarsistemasida qandaydir ikkita vektorlari proporsional bo’lsa, vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan. Shuni ta’kidlaymizki vektorlarning proporsionalligi chiziqli kombinasiya tushunchasini xususiy holidir.
Bundan tashqari agar vektorlar sistemasining biror qism vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda vektorlar sistemasining o’zi ham chiziqli bladi (tekshiring!) va aksincha vektorlar sistemasi erkli bo’lsa, u holda uning istalgan qism vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi. Umuman, agar vektorlar sistemasining istalgan qism vektor sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u holda shu vektorlar sistema ham chiziqli erkli bo’ladi.
Endi quyidagi teoremani keltiramiz:
Do'stlaringiz bilan baham: |
