12-Маъруза Чизиқли электр занжирларидаги ўтиш жараёнларини

12-Маъруза


Чизиқли электр занжирларидаги ўтиш жараёнларини
таҳлил қилиш оператор усулининг асосий ҳоллари

Олдин айтиб ўтилганидек, йиғиқ параметрли чизиқли электр занжирларидаги ўтиш жараёнларини таҳлил қилишнинг классик усули оддий биржинслимас чизиқли дифференциал тенгламаларни берилган бошланғич шартларда тўғридан-тўғри ечишдан иборатдир. Электр занжирларининг схемалари мураккаблашгани сари бундай тенгламаларни ечиш ҳам қийинлаша боради. Шу сабабли, занжирлар назариясида дифференциал тенгламаларни интеграллашнинг махсус усуллари, хусусий ҳолда интеграллаш доимийларини аниқлашни талаб қилмайдиган усуллари, ишлаб чиқилган. Биринчи навбатда бундайлар қаторига оператор усуллар киради. Уларнинг асосида комплекс усулдаги каби дифференциал тенгламалар ўрнига алгебраик тенгламаларни ечиш ғояси ётади.

Ҳозирги вақтда ўтиш жараёнларини таҳлил қилишнинг асосий оператор усули сифатида Лапласнинг тўғри интеграл ўзгартиришига


(4.69)
асосланган усул хизмат қилади.
Бу интеграл ўзгартириш ёрдамида вақт функцияси комплекс ўзгарувчи нинг функцияси га алмаштирилади.
(4.69) интеграл тарқоқ бўлмаслиги учун унга учта шарт юкланади:
1) функция Дирихле шартларини қаноатлантириши керак;
2) да ;
3) нинг модули t вақт ўтиши билан экспонентага нисбатан секинроқ ўсиши мумкин, яoни шундай ўзгармас сонлар ва мавжудки, ҳамма t учун . Бунда электрон занжирлардаги реал таoсирлар ва айниқса уларга хос реакцияларни ифодалайдиган функциялар ҳар вақт кўрсатилган шартларни қаноатлантиришларини айтиб ўтиш муҳимдир.
Комплекс усулдаги сингари функция оригинал, функция эса тасвир деб аталади.
Тасвир соҳасидаги ечим топилгандан сўнг, олинган функцияси орқали функцияни топиш лозим. Умумий ҳолда бу Лапласнинг тескари ўзгартириши
(4.70)

ёрдамида бажарилиши мумкин. Бу ўзгартириш (4.69) интеграл тенгламанинг номаълум функция f(t) га нисбатан ечими бўлиб, уни комплекс ўзгарувчан функцияси назарияси усуллари билан олиш мумкин. (4.69) ўзгартиришни билан, (4.70) ўзгартиришни эса билан белгилаймиз.

Ўтиш жараёнларини ҳисоблашда Карсон-Хевисайд ўзгартиришидан

ҳам фойдаланилади, у ва Лаплас ўзгартириши ўртасида қуйидаги яққол муносабат мавжуд:

Лаплас ўзгартиришининг асосий устунлиги унинг функцияси такрорлик спектри – Фурье интеграли билан содда боғланганлигидир. Карсон-Хевисайд ўзгартириши нинг такрорлик спектри билан мураккаброқ боғланган, лекин тасвир ва оригиналнинг бирликлари бир хил. Бу эса физикавий нуқтаи-назардан қулайдир. Бундан буёғига Лаплас ўзгартиришидан фойдаланамиз.

Лаплас ўзгартиришнинг асосий хоссаларини кўриб чиқайлик. Улар ҳам комплекс ўзгартиришнинг хоссаларидай исботланади. Шу сабабли асосий хоссаларни исботсиз келтирамиз.
1. Оригинални ўзгармас сонга кўпайтириш. Оригинал ўзгармас сонга кўпайганда, унинг тасвири ҳам худди шу сонга кўпаяди:


(4.71)

2. Оригиналларни қўшиш ва айириш (қўшиш теоремаси). Оригиналлар йиғиндиси (айирмаси) тасвирига бу оригиналлар тасвирларининг йиғиндиси (айирмаси) тўғри келади:

(4.72)