§12. Geometriyaliq principler. Argument prinsipi. Oblastin’ saqlaniw prinsipi. Argument principi

2-teorema. shárti golomorf f fubkciya noqatta lokal birbetli bolıwı ushın zárúr bolıp tabıladı.
1-yeskertiw: Bul shárttiń jetkilikliligi haqıyqıy analizdegi ayqın emes funksiyalardıń bar bolıwı haqqındaǵı teoremadan kelip shıǵadı (qaralıp atırǵan noqatta sáwlelendiriw yakobianı nolden parqlı).
Biraq haqıyqıy analizdegi shárti qálegen differenciyallanıwshı funksiyalardıń birbetli bolıwı ushın zárúrli shárti bola almaydı. Bunı mısalda kóriwge boladı, f=xz+iy sáwlelemdiriw ushın z=0 noqatta yakobianı 0 ge teń boladı hám ol birbetli bola almaydı.
2-yeskertiw. Barlıq lar ushın lokal birbetlilik shárti pútkil D oblastta funksiyanıń global birbetliligin jetkilikli shárti bola almaydıá Bunıda mısaldan kórsek boladı, funksiya daǵı hárbir noqatta birbetli bolǵanı menen, ol eń keminde hám sonday juplıǵı bar oblastta birbetli bolmaydı, bul jerde - pútin san.
Joqarıda bizler lokal aylanıw haqqındaǵı máseleniń sapalıq jaqtan sheshimin keltirip óttik. Juwmaqlawda, analitiklaıq funksiyalardıń teoriyasınıń metodları bul máseleniń sanlı effektiv sheshimin de beriwge múmkinshilik jaratadı. Ápiwayılık úshın bolǵan jaǵdaydı kórip shıǵayıq.
Joqarıdaǵıday, hám dóńgeleklerin jasaymız hám qálegen turaqlı w da 2 shi dóńgelekte

funksiyanı qaraymız.
Ol z=g(w) noqattan tısqarı birinshi dóńgelekte barlıq jerde golomorf, bunda g-f funksiyanıń aylanıwı, hám bul z=g(w) noqattaǵı (1-tártipli polyus) qaldıq z ke teń. Demek, Koshidiń qaldıqlar teoremasınan
(7)
bunda .
Oń jaqtaǵı integral w ǵa baylanıslı, demek biz g(w) funksiyanıń integrallı kórinisin taptıq. Bunnan, Koshi integralınan Teylor jayılmasın tapqanday etip, g diń dárejeli qatarǵa jayılmasın tabıwǵa boladı:

bunda bul ν sheńber boyınsha boyınsha tegis jıynaqlı boladı (bizde ν da , al ).
Bul jayılmanı ge kóbeytip hám ν boyınshahárbir aǵzasın integrallap
(8)
ekenligin tabamız, bunda

Bul jerde d₀=z yekenligi belgili boladı, al bolǵanda bul ańlatpanı bóleklep integrallawǵa alıp keliwge boladı:

Integral astındaǵı funksiya dıń ishinde noqattı n tártiplin polyusqa iye. Onda belgili formula boyınsha onıń qaldıǵın tawıp, juwmaqawshı koefficientlerdiń aqırǵı ańlatpasın tabamız.
, , n=1,2,... (9)
Koefficientleri (9) dan ibarat bolǵan (8) shi qatar Burman-Logranj qatarı dep ataladı. Onı golomorf funksiyalardı ózgertiwde paydalansa boladı.
Mısal: bolsın, bulfunksiyanıń ge sáykes noqattaǵı ózgeriwin tabamız. (9) formulalar boyınsha bolǵanda
, boladı
Hám Burman-Logranj qatarı tómendegishe kóriniske iye boladı:
(10)
, bolǵandaǵı ushın Burman-Logranj qatarınıń ulıwmalasqan túrin kórsetse de boladı, biraq bizler bunı qaramaymız.