|
3-teorema. (Rushe teoreması). Meyli hám funciyalar úzliksiz shegaralı jabıq oblastta golomorf hám barlıq ushın orınlı bolsın.
Sonda hám funksiyalardıń da nolleriniń sanı birdey boladı.
(11) den hám funksiyalar da nolge teń emes yekenligi kórinip tur, sonıń ushın olarǵa argument principin qollaymız. da bolǵanı ushın boladı, demek argumentler mánisin tiyisli taklawda
(12)
iye bolamız.
Biraq da bolǵanlıqtan, qálegenshe ózgerse de noqat dóńgelekten shıǵıp kete almaydı. Sonıń ushın vektor noqat átirapında burıla almaydı hám (12) degi 2 shi qosılıwshı 0 ge teń boladı. Demek,
bunnan argument principi boyınsha teoremadaǵı juwmaqqa iye bolamız.
Rushe teoreması golomorf funksiyalardıń noller sanın yesaplawda paydalı boladı. Dara jaǵdayda bul teoremadan kópaǵzalılardıń tiykarǵı qásiyeti ápiwayı kelip shıǵadı.
4-teorema. dárejeli kálegen kópaǵzalı da kórenge iye.
sheksizlikte polyusqa iye bolǵanı ushın onıń barlıq korenleri qandayda bir dóngelek ishinde jatadı. Meyli bolsın bunda hám . Kerekli jerde di úlkeytip sheńberde dep yesaplasaq boladı, sebebi , al dárejesi den úlken bolmaǵan kópaǵzalı. Rushe teoreması boyınsha dóngelekte qansha nóli bolsa da sonsha nólge iye boladı, yaǵnıy birdey korenge iye.
Oblastıń saqalanıw principi. Tómendegi áhmiyetli teorema usınday dep ataladı.
1-teorema. Eger funksiya oblastda golomorf hám turaqlıǵa barabar teń bolmasa, onda obrazda oblast boladı.
Dálillew: kóplik ashıq hám baylanıslı yekenin dálillew kerek. Meyli hám nıń eki yerikli noqatları bolsın arqalı daǵı proobrazlardıń birin belgilep alayıq, sáykes arqalı ese - proobrazlardıń birin. kóplik (sızıqlı) baylanıslı bolǵanı ushın, onda hám ni baylanistıratúǵın jol bar boladı. funksiya úzliksız bolǵanı ushın obraz hám ni baylanıstıratúǵın jol boladı., ol noqatlardan ibarat. Demek baylanıslı.
Meyli, daǵı yerikli noqat hám onıń daǵı poobrazlarınıń biri bolsın. ashıq bolganı ushın dóngelek bar boladı. Kerek jaǵdaylarda di kishireytirip kóplik dan basqa noqatlarına iye emes dep yesaplasaqta boladı. ( sol bolganlıktan, onda birden birlik teorema boyınsha onın nokatları da jekkelengen) arqalı usı dóńgelek shegarasın belgilep alayıq hám
(1)
bolsın.
bolıwı anıq, sebebi úzliksiz funksiya da óziniń moduli boyınsha eń kishi mánisine erisedi hám eger bolǵanda, onda da funksiyanıń noqatı bar bolar edi.
Yendi ekenin dálilleymiz. Haqıyqatında da, - usı dóngelektıń qálegen noqatı bolsın, yaǵnıy . Onda
(2)
hám (1) den yekeni kelip shıǵadı. Rushe teoremasınan bolǵanlıqtan funksiya ishinde qansha nólge iye bolsa, olda sonsha nólge iye boladı, yaǵnıy eń keminde bir nóli boladı. Demek funksiya ishinde ge teń mánisine erisedi, yaǵnıy . Biraq - dóngelegindegi qálegen noqat, bunnan barlıq bul dóngelek qa tiyisli boladı. tıń ashıqlıǵı dálillendi.
Esletpe. Kórgenimizdey, kópliktiń baylanıslı bolıwın dálillew funksiyanıń tek úzliksiz bolıwın talap etedi, al aqshıqlıǵın dálillewde birden birlik teoreması hám Rushe teoreması qollanılǵan, joqarıda golomorf funksiyalar ushın kórsetilgendey. Qálegen úzliksiz funksiyalar ushın obrazdıń ashıqlıǵı tastiqlawı orınlı bolmaydı, bunı mına mısalda kórsetiwge boladı. h.m bolsın, sonda ashıq kóplik bolmaydı, sebebi D nıń vertikal diametriniń noqatları nıń shegaralıq noqatlarına ótedi.
Biraq oblast saqlanıw principi (hámde ol tiykarlanǵan birden birlik teoremaları) topologiyalıq xarakterge iye ekenligin dálillewge boladı, yaǵnıy olar golomorf funksiyalarǵa topologiyalıq ekvivalent bolǵan barlıq funksiyalar ushın orınlı.
Usıǵan uqsas, biraq elede dıqqatlı bolıp kórip shıǵıwdı golomorf funksiyalardıń lokal aylanıwı haqqında máselensin sheshiwge alıp keledi. Bul másele tómendegishe qoyıladı: noqatta golomorf bolǵan berilgen, sonday noqatta analitikalıq funksiya tabıw kerek, onda dıń qandayda bir dógereginde hám bolatuǵın.
Bul máseleni sheshiwde 2 jaǵdaydı ayırıp biliw tiyis.
noaqt – kritikalıq noqat emes: oblast saqlanıw principin
dálillegendey, dóńgelegin alamız, bunda ol basqa - noqatlardı saqlamaytuǵın, oraydan tısqarı hám formula (1) boyınsha anıqlaymız. - dóńgeloektiń qálegen noqatı bolsın, onda funksiya dóńgelekte neshe ret ge te boladı. Biraq mánisi bul dóńgelekte noqatta ǵana yerisiledi hám bolǵanlıqtan tek bir nártebe.
Demek funksiya dóńgelekte dóńgelektegi qálegen mániske erisedi hám tek 1 márte. Basqasha aytqanda, funksiya noqaqtta local birbetli.
Sonıń menen dóńgelekte funksiya anıqlanǵan boladı hám inıń ushın hám . tiń bir betliginen eger , bolǵanda yekenligi kelip shıǵadı hám bunnan dóńgelektiń qálegen noqatında
(3)
Tuwındınıń bar bolıwınıń kelip shıǵıwı anıq boladı, yaǵnıy dıń bul dóńgelekte golomorf yekenligi kelip shıǵadı.
noqat – kritikalıq noqat: . Yendi
dóńgelekti sonday etip alamız, onda oraydan tısqarı tiń hám - noqatları, hám tuwındınıń nolleri bolmasın hám joqarıdaǵı pikirlerdi qaytalaymız. Bul kezde noqatta mánisi ret erisiledi; hám bolǵanda bolǵanı ushın, onda qálegen mánis , funksiya menen dóńgelekte hárqıylı p noqatlarda erisiledi. Demek, f funksiya dóńgelekte p betli boladı.
Lokal aylanıw máselesin sheshiliwin bul jaǵdayda qanday ekenligin kórip shıǵamız. noqattıń qanday da bir dógereginde
(4)
Boladı, bunda - golomorf hám nolge teń emes. Bunnan
(5)
Yekenligi kelip shıǵadı, bul jerde korenniń qandayda bir usı dógerekte golomorf shaqasın anıqlaydı. Bul shaqa orayı de bolǵan Teylor qatarına jayıladı hám bos aǵza 0 den ózgeshe boladı, demek ushın boladı. dep yesaplap (5) ti kóriniste jazıp alamız, hám I jaǵdaydan paydalanǵan halda bul jerden z ti w dan golomorf bolǵan funksiya dep qarap, onı tabamız: . Eń aqırǵı jayılıwda dep almastırsaq, f funksiyanı dárejeli qatarǵa aylandırıwshı jayılma kelip shıǵadı:
(6)
Bunnan kórinip turıptı, dóńgelekte analitikalıq funksiya yekenligi hám - inıń ushın p tártipli shaqalanıw noqatı.
Keltirilgen analizlewden, dara jaǵdayda mına teorema kelip shıǵadı.
Do'stlaringiz bilan baham: |
