11-mavzu: Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar. Chiziqli fazoning olchovi va bazisi. Chiziqli fazo elementini basis elementlari boyicha yoyish. Chiziqli fazoning qism fazolari. Evklid fazosining ta’rifi

Yechish. formulaga binoan, Demak,
9- misol. bazisda operator matritsaga ega. bazisda operatorning matritsasini toping.
Yechish. Oʻtish matritsasi ning teskari matrisasi Demak,

10- misol. bazisda chiziqli operatorning matritsasi koʻrinishga ega. Yangi bazisda chiziqli operatorning matritsasini toping.
11- misol. bazisda chiziqli operatorning matritsasi koʻrinishda. Yangi bazisda operatorning matritsasini toping.
12- misol. operatorni chiziqlilikka tekshiring.
Yechish. Operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun hamda tengliklarni bajarilishini tekshirish kifoya.



13- misol Chizqli operator matritsa bilan berilgan. Chiziqli operatorning hos qiymatlari va hos vektorlarini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglama tuzamiz:
xos qiymatga mos xos vektorni topamiz. Buning uchun quyidagi tenglamani yechamiz:

Agar deb olsak, boʻladi. Demak vector operatorning xos qiymatiga mos xos vector boʻladi. Xuddi shunga oʻxshab xos qiymatga mos xos vektorlarni aniqlash mumkin.
13-mavzu: Chizqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorlarning xos vektorlari bazis tashkil qilinishining yetarli sharti.

Aytaylik, matritsa berilgan bo‘lsin. U vaqtda o‘lchovli vektor (ustun-vektor) bo‘lsa, ko‘paytma mavjud bo‘lib, u m o‘lchovli Y vektordan iborat bo‘ladi va

(4.1.4)
chiziqli almashtirishga ega bo‘lamiz. (4.1.4) da A ni chiziqli almashtirish matritsasi deb ataladi. Agar chiziqli almashtirish matritsasi kvadrat matritsadan iborat bo‘lsa, , u vaqtda X va Y lar bir xil n o‘lchovli vektorlardan iborat bo‘lib, ular kollinear bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu vektorlarning kollinear bo‘lib qolgan holi aloxida ahamiyatga ega bo‘lib, bu hol ko‘p masalalarni hal qilishda uchraydi.
Agar A kvadrat matritsaga ega bo‘lgan (4.1.4) chiziqli almashtirish biror noldan farqli X vektorni o‘ziga kollinear bo‘lgan Y vektorga akslantirsa (o‘tkazsa), X vektor A kvadrat matritsaning (chiziqli almashtirishning) xos vektori, Y ning X ga proporsionallik koeffitsiyentidan iborat bo‘lgan son esa uning xos soni deyiladi [4].
Demak, agar X berilgan A kvadrat matritsaning xos vektori bo‘lsa, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha
(4.1.5)
tenglik o‘rinli bo‘lib, bu yerda matritsaning xos sonidan iboratdir.
(4.1.5) ni oddiy shakl o‘zgartirishlar yordamida
(4.1.6)
ko‘rinishga keltirish qiyin emas. Bu X ga nisbatan bir jinsli matritsaviy tenglamadir. Agar

deb, - kvadrat matritsa ekanligini hisobga olsak, (4.1.6) dan
(4.1.7)
n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasini olamiz, bu yerda - Kroneker belgisidir. Bu bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi bizga ma’lum (2-bobga qarang):
. (4.1.8)
Bu (4.1.8) ga nisbatan tenglama bo‘lib, undan A matritsaning xos soni aniqlanadi. Umumiy holda, (4.1.8) dan ko‘rinadiki, ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamaga egamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra bu tenglama n ta kompleks ildizga ega bo‘lib [4], ular oddiy yoki karrali bo‘lishi mumkin.
Demak, (4.1.8) tenglamani yechib, xos sonning qiymati aniqlangach, uni (4.1.7) ga qo‘yish natijasida determinanti nolga teng bo‘lgan bir jinsli sistemani olamiz va uning noldan farqli yechimini topib, A matritsaning xos vektorini aniqlaymiz.