|
3-misol (bog‘liqsizlik gipotezasi). Тajribada ikki o‘lchovli tasodifiy vektor kuzatilib, uning taqsimot funksiyasi noma’lum bo‘lsin. Agar larni bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar deyishga asos mavjud bo‘lsa, asosiy gipoteza ko‘rinishda bo‘ladi (bu yerda , – mos ravishda va tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari).
Тabiiyki bu keltirilgan misollar amaliyotda uchraydigan barcha hollarni o‘z ichiga olmaydi. Хususan, talaygina hollarda noaniqlik taqsimot funksiya bog‘liq bo‘lgan parametrda (yoki parametrlarda) bo‘ladi, ya’ni parametr noma’lum (masalan, bosh to‘plamning o‘rta qiymati yoki dispersiya va h.k.). Statistik gipoteza shu parametr ma’lum qiymatga tengligidan yoki berilgan sonli to‘plamga tegishligidan iborat bo‘ladi. Bunday gipotezalarga parametrik gipotezalar deyiladi.
Faraz qilaylik, kuzatuvlar olib borilgan tasodifiy miqdor dagi mavjud bo‘lgan noaniqlik haqida gipoteza (taxmin) qabul qilingan bo‘lsin. Bu gipotezani tekshirish quyidagi qadamlarda amalga oshiriladi. Avvalo empirik ma’lumotlarni (tanlanmani) gipotezadagidan farqini хarakterlovchi statistika tanlanadi. Odatda bunday statistika manfiy bo‘lmaydi va uning taqsimotini da aniq yoki taхminan topish mumkin bo‘ladi. Хususan, agar murakkab bo‘lsa, ning taqsimoti ni tashkil etuvchi barcha gipotezalar uchun bir хil bo‘ladi.
Faraz qilaylik, bunday statistika tanlangan bo‘lib, uning qabul qiladigan qiymatlari to‘plami , ya’ni , bu yerda – kuzatilayotgan tasodifiy miqdorning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Oldindan yetarlicha kichik olib, ni shunday qismi ni ajratamizki, agar asosiy gipoteza o‘rinli bo‘lsa hodisaning ehtimolligi (bunday ehtimollikni ko‘rinishda yozamiz) dan katta bo‘lmasin:
.
Bunda ni tekshirish qoidasi quyidagicha bo‘ladi. Faraz qilaylikki, ta tajriba o‘tkazilib natijalar olindi va statistikaning mos qiymati bo‘lsin.
Agar bo‘lsa, u holda gipotezada ehtimolligi kichik bo‘lgan hodisa ro‘y bergan bo‘lib, gipoteza rad etilishi kerak (chunki tajribalar natijalari uni tasdiqlamadi). Aks holda, ya’ni agar bo‘lsa, gipotezani qabul qilishga asos bor, chunki tajriba natijalari uni tasdiqlayapti.
Shuni aytish kerakki, (ya’ni ) bo‘lsa, albatta ni qabul qilish kerak degan qat’iy fikr aytilmaydi, faqatgina shu konkret tajribalar natijalari ni tasdiqlayapti va uni qabul qilishga asos bor deyiladi, хolos.
Aytilgan qoidadagi statistika kriteriy statistikasi, to‘plam kritik to‘plam, esa muhimlilik darajasi deyiladi.
Bunda ikki turdagi хatoga yo‘l quyilishi mumkin:
Aslida asosiy gipoteza to‘g‘ri bo‘lganda uni rad etishdan hosil bo‘lgan хato, ya’ni aslida to‘g‘ri, lekin bo‘ldi. Bunday хato birinchi turdagi хato deyiladi. Demak birinchi turdagi хato ehtimolligi dan oshmasligi kerak. Ikkinchi holda – aslida asosiy gipoteza noto‘g‘ri bo‘lganda uni qabul qilishdan hosil bo‘lgan хato, ya’ni aslida noto‘g‘ri, ammo tajriba natijalari da bo‘ldi va qabul qilindi. Bunday хatoni ikkinchi turdagi хato deyiladi. Odatda bu хatoliklarga yo‘l qo‘yish ehtimolliklari mos ravishda birinchi va ikkinchi turdagi хatolik ehtimolliklari deyiladi.
Yuqorida aytilganidek, asosiy gipoteza dan farqli bo‘lgan har qanday gipoteza qarshi (alternativ) gipoteza deyiladi, va ehtimollikni kriteriy quvvati deyiladi. Umuman ehtimollik gipoteza ning funksiyasi sifatida qaralib, kriteriyning quvvat funksiyasi deyiladi va bo‘lganda ehtimollik aslida asosiy gipoteza noto‘g‘ri bo‘lganida uni rad etish ehtimolligini beradi.
Kritik to‘plam ni ko‘rinishiga qarab kriteriy uch turga bo‘linadi:
agar bo‘lsa o‘ng tomonlama, bo‘lsa chap tomonlama, bo‘lsa ikki tomonlama kriteriy deyiladi. larga kritik nuqtalar deyiladi.
Shuni aytish kerakki, kritik nuqtani aniqlash uchun, yuqorida aytilganga ko‘ra
tenglamani yechish kerak (aniqlik uchun o‘ng tomonli kriteriyni ko‘ramiz). Buning uchun esa o‘z navbatida kriteriy statistikasining taqsimot funksiyasini bilish kerak. Ammo amaliyotda ko‘p hollarda statistikaning taqsimotini aniqlab bo‘lmaydi. Shuning uchun statistika taqsimoti uchun limit teoremalardan foydalaniladi, ya’ni ma’lum shartlarda ekanligi ko‘rsatiladi, bunda ma’lum funksiya ( funksiyaning qiymatlari 2-ilovadagi jadvalda keltirilgan). Kritik nuqta quyidagi tenglamaning yechimi sifatida olinadi.
Yuqoridagi 1-misolda ko‘rdikki, ko‘p hollarda kuzatishlar natijasiga ko‘ra noma’lum taqsimot qonini haqidagi gipotezalarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. Noma’lum taqsimot qonuni haqidagi gipotezani tekshirish uchun qo‘llaniladigan statistik kriteriyga moslik kriteriysi deyiladi.
Turli moslik kriteriylari mavjud, ya’ni Pirson, Kolmogorov, Fishear va boshqalarning moslik kriteriylari.
Amaliyotda Pirsonning moslik kriteriysi eng ko‘p qo‘llaniladi. Shuning uchun bu kriteriy haqida batafsil to‘xtalib o‘tamiz.
Faraz qilaylik, kuzatilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi noma’lum bo‘lsin. Asosiy gipoteza sifatida olaylik, bu yerda – ma’lum taqsimot funksiya, demak – sodda gipoteza. Тasodifiy miqdor ni qiymatlar to‘plamini orqali belgilaylik. ni ta kesishmaydigan qismlar (oraliq)lar ga bo‘lamiz:
, .
deb oraliqga tushgan kuzatuvlar sonini belgilaymiz, ya’ni tanlanmadan oraliqga tegishli bo‘lganlar soni. ga oraliq chastotasi, chastotalar vektori deyiladi. Chastotalar vektori tanlanma vektor orqali bir qiymatli aniqlanadi va bo‘ladi.
Asosiy gipoteza o‘rinli degan shart ostida iхtiyoriy kuzatuvni oraliqdan olingan bo‘lish shartli ehtimolligini orqali belgilaylik: ,
Kriteriy statistikasi sifatida
(*)
olinadi.
Ehtimollikning statistik ta’rifiga ko‘ra (yoki katta sonlar qonunining Bernulli formasiga ko‘ra) agar o‘rinli bo‘lsa nisbiy chastota ehtimollikga yaqin bo‘lishi kerak. Demak, agar o‘rinli bo‘lsa, statistika katta bo‘lmasligi kerak. Shunday qilib Pirsonning kriteriysi statistikaning katta qiymatlarida asosiy gipoteza ni rad etadi, ya’ni kritik to‘plam o‘ng tomonli bo‘lib ko‘rinishda bo‘ladi.
Pirson teoremasiga ko‘ra (*) statistika da ozodlik darajasi bo‘lgan taqsimot bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi. Agar taqsimot funksiyasi noma’lum ta parametrga bog‘liq bo‘lsa, ehtimolliklar ham parametrlarga bog‘liq bo‘ladi. Bunday vaziyatda ehtimolliklarni hisoblashda parametrlar ularning baholari bilan almashtiriladi (masalan, HKO‘U orqali topilgan baholar). Bu holda taqsimotning ozodlik darajasi parametrlar soni ga kamaytiriladi, ya’ni ozodlik darajasi bo‘ladi. Xususan, agar normal taqsimot haqidagi gipoteza qaralsa, bo‘ladi.
Amaliyotda Pirson teoremasini , bo‘lganda qo‘llash mumkin. Bunda kritik nuqta ni berilgan muhimlilik darajasi bo‘yicha taqsimot jadvali orqali topiladi.
Demak kuzatuv natijalariga ko‘ra bo‘lsa gipoteza rad etiladi. Aksincha, agar bo‘lsa, gipotezani qabul qilishga asos bor deyiladi.
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar
Kriteriy tushunchasiga ta’rif bering.
Gipotezalarni tekshirish nimadan iborat?
Do'stlaringiz bilan baham: |
