11-amaliy mashg‘ulot: Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishiga oid masalalar. Tekis chegaralangan prinsipiga oid masalalar

Yechish. Bu operatorning aniqlanish sohasi

to‘plamdan iborat. masalan . Quyidagi ketma-ketlikni qaraymiz: U holda

Bulardan tengsizlikka kelamiz. Bu esa operatorning chegaralanmagan ekanligini ko‘rsatadi.

4. 
   Shunday operatorlarga misol keltiringki, bo‘lsin.
   
5. 
   noldan farqli operatorlar bo‘lib, bo‘lsa, va larning chiziqli erkli ekanligini isbotlang.
   
6. 
   va bo‘lishidan ekanligi kelib chiqadimi?
   
7. 
   lar normalangan fazolar, ochiq to‘plam, yopiq to‘plam hamda bo‘lsa, ochiq, esa yopiq to‘plam bo‘ladimi?
   
8. 
   funksional norma shartlarini qanoatlantirishini isbotlang.
   
9. 
   akslantirish uzluksiz ekanligini isbotlang.
   
10. 
    chiziqli normalangan fazo, uning qism fazosi bo‘lsin. to‘plam ning qism fazosi bo‘ladimi?
    
11. 
    chiziqli normalangan fazo, uning qism fazosi bo‘lsin. to‘plam ning qism fazosi bo‘ladimi?
    
12. 
    chiziqli normalangan fazo, ixtiyoriy element, bo‘lsin.
    

a) munosablar o‘rinli. Isbotlang.

b) faraz qilaylik soni tenglik o‘rinli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lsin. U holda barcha natural sonlar uchun tenglikning bajarilishini isbotlang.

13. 
    chiziqli normalangan fazo, tayinlangan element bo‘lsin. shartni qanoatlantiruvchi barcha lar to‘plami ning qism fazosi bo‘ladimi? chiziqli normalangan fazo, tayinlangan element bo‘lsin. shartni qanoatlantiruvchi barcha lar to‘plami ning qism fazosi bo‘ladimi?
    
14. 
    Hilbert fazosi, va har bir uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda tengsizlik ham o‘rinli. Isbotlang.
    
15. 
    lar Banax fazolari, va har bir da ketma-ketlik fundamental bo‘lsin. U holda shunday operator mavjud bo‘lib operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchli ma’noda yaqinlashadi. Isbotlang.
    
16. 
    Banax fazosining qism fazosini qaraymiz va har bir uchun
    

.

a) tenglikni isbotlang.

b) va

tenglikni isbotlang.

c) - trigonometrik ko‘phadlardan iborat qism fazo bo‘lsin. da operatorlar ketma-ketligi birlik operatorga kuchli ma’noda yaqinlashadi. Isbotlang.

17. 
    fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorlarni quyidagicha aniqlaymiz:
    

operatorlar operatorga yaqinlashadimi? Yaqinlashish xarakterini (tekis, kuchli, kuchsiz) aniqlang.

18. 
    fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorlarni
    

tenglik yordamida aniqlaymiz:

a) ekanligini isbotlang;

b) operatorlar ketma-ketligi birlik operatorga kuchli ma’noda yaqinlashadi. Isbotlang.

c) operatorlar ketma-ketligi birlik operatorga tekis yaqinlashadimi?

19. 
    lar Banax fazolari, bo‘lsin. U holda munosabatni isbotlang.
    
20. 
    lar Banax fazolari, bo‘lib operatorlar ketma-ketligi ga operatorlar ketma-ketligi ga kuchli ma’noda yaqinlashsin. U holda operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchli ma’noda yaqinlashadi. Isbotlang.
    
21. 
    lar Banax fazolari, bo‘lib operatorlar ketma-ketligi ga operatorlar ketma-ketligi ga tekis (norma bo‘yicha) yaqinlashsin. U holda operatorlar ketma-ketligi fazoda operatorga yaqinlashadi. Isbotlang.
    
22. 
    Shunday normalangan fazoga va operatorlarga misol keltiringki, bo‘lsin.
    
23. 
    normalangan fazo va chegaralanmagan operator bo‘lsin, uning aniqlanish sohasi ning hamma yerida zich bo‘lsin. va larning chegaralangan, chegaralanmagan hollariga misollar keltiring.
    
24. 
    Hilbert fazosi, uning qism fazosi bo‘lsin. , operator ga ortogonal proyeksiyalash operatori deyiladi. ning chiziqli chegaralangan ekanligini ko‘psatib, normasini toping.
    
25. 
    Hilbert fazosida operatorlarni quyidagicha aniqlaymiz:
    

.

a) to‘plamlarni tavsiflang. Ular ning qism fazolari bo‘ladimi?

b) operatorlarning chiziqli chegaralangan ekanligini ko‘psatib, normalarini toping.

c) operatorlarni toping. operatorlar ortogonal proyeksiyalash operatorlari bo‘ladimi?

d) va operatorlarni toping.

Quyidagi operatorlar-ning chiziqli, chegaralangan ekanligini ko‘rsating, ularning normalarini toping.

26. 
    , .
    
27. 
    , .
    
28. 
    , .
    
29. 
    , .
    
30. 
    , .
    
31. 
    , .
    
32. 
    , .
    
33. 
    , .
    
34. 
    , .
    
35. 
    , .
    
36. 
    , .
    
37. 
    , .
    
38. 
    , .
    
39. 
    , .
    
40. 
    , .
    
41. 
    , .
    
42. 
    ,
    
43. 
    , .
    
44. 
    .
    
45. 
    .