11-amaliy mashg‘ulot: Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishiga oid masalalar. Tekis chegaralangan prinsipiga oid masalalar

Yechish. Dastlab ixtiyoriy uchun ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun almashtirishdan foydalanamiz:

.

Oxirgi integralni baholashda quyidagi umumlashgan Gyolder tengsizligidan foydalanamiz:

bu yerda

Biz qarayotgan holda Shuning uchun

Demak, ixtiyoriy uchun

(3)

tengsizlik o‘rinli. Shunday qilib, har bir uchun . Demak, . Endi operatorning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz:

ya’ni va Operatorning chegaralanganligi (3) dan kelib chiqadi. Uning normasini topish uchun elementni qaraymiz:

(4)

(3) va (4) dan tenglikni hosil qilamiz.

3. 
   ,
   

operatorning chegaralanmagan ekanligini ko‘rsating.