100 лет со дня рождения

Научная деятельность
В научной деятельности А.А. Ляпунова, несмотря на её разно-
сторонний характер, можно выделить два этапа: первый, дливший-
ся до начала пятидесятых годов, связан, главным образом, с теори-
ей множеств; второй 
–
с развитием кибернетики.
Интерес к теории множеств А.А. пронёс через всю жизнь и 
неоднократно возвращался к занятиям ею также и в период работы 
в области кибернетики. Более того, в кибернетических проблемах 
он зачастую подмечал обстоятельства теоретико-множественного 
характера и привлекал к ним внимание учеников и сотрудников.

---

24
I. СТРАНИЦЫ ЖИЗНИ А.А. ЛЯПУНОВА
Работы по теории множеств и теории функций
Первая половина нашего столетия была ознаменована бурным 
развитием теории множеств. Полученные в этой области результа-
ты легли в основу самых разных областей математики. Теория 
множеств делится на метрическую, связанную с измерениями, и 
дескриптивную, занимающуюся способами конструирования мно-
жеств и их классов.
Основное содержание дескриптивной теории множеств 
–
изу-
чение связи между способами конструирования множеств (или 
классов множеств) и внутренними свойствами этих множеств 
(классов). Рассматриваются некоторые классы операций над мно-
жествами, обычно связанные, так или иначе, с объединением и 
пересечением множеств. Затем берётся некоторый исходный запас 
достаточно простых множеств, например, интервалы числовой оси, 
и строится минимальный класс, содержащий исходные множества 
и замкнутый относительно выбранных операций. При этом, есте-
ственно, возникает классификация множеств, входящих в расши-
ренный класс, по поводу которой важно выяснить, например, та-
кие вопросы: (1) существуют ли в каждом классе такие множества, 
которые не входят в предыдущие классы, т. е. проблема непустоты; 
(2) отделимы ли множества, принадлежащие к какому-либо классу 
посредством множеств из более простых классов; (3) какой мощ-
ности бывают эти множества; (4) измеримы ли они; (5) посред-
ством каких множеств они униформизированы 
–
задача, связанная 
с переходом от неявного задания функции к явному её значению.
Классические результаты в области дескриптивной теории 
множеств получены в начале 20-го века французскими математи-
ками (Бэр, Борель, Лебег и др.). Одновременно с французскими 
математиками в теории множеств работали московские математи-
ки в коллективе Н.Н. Лузина. В 1916 г. П.С. Александровым была 
введена 
А
-операция и, пользуясь ею, М.Я. Суслин в 1917 г. постро-
ил класс 
А
-множеств более широкий, чем класс 
В
-множеств. Для 
изучения 
А
-множеств Н.Н. Лузиным была определена (1930 г.) 
специальная операция «решета». П.С. Новиков установил (1931, 
1937 гг.) принцип сравнения индексов решета. Им же введено 
(1934 г.) понятие кратной отделимости. А.Н. Колмогоровым введе-
но понятие 
С
-множеств, полученных повторным применением 
А
-операции и дополнительной к ней. С проективными множества-
ми работали А.Н. Колмогоров, Ф. Хаусдорф, Н.Н. Лузин, П.С. Но-
виков. Ко времени прихода А.А. Ляпунова в Институт математики 
им. В.А. Стеклова большинство воспитанников лузинской («мос-
ковской») математической школы уже перешло в другие области. 

---

25
Очерк научной, педагогической и общественной деятельности А.А. Ляпунова
Исследования принципиальных вопросов дескриптивной теории 
множеств продолжал П.С. Новиков. Под его непосредственным 
руководством, начиная с 1935 г., и стал работать А.А. 
Первый цикл работ А.А. Ляпунова связан с проблемой отдели-
мости и униформизации множеств. А.А. показал, что для 
А
-мно-
жеств имеет место первая теорема о кратной отделимости по отно-
шению к операции предела счётной последовательности множеств 
(1936 г.), а для 
СА
-множеств не имеет места первая теорема отде-
лимости по отношению к операции верхнего предела.
Далее А.А. Ляпунов детально изучает общие законы отдели-
мости и неотделимости по отношению к 
А
-операции. Опираясь на 
принцип сравнения индексов П.С. Новикова, А.А. доказал первую 
и вторую теоремы о кратной отделимости для класса 
А(М)
по от-
ношению к 
А
-операции. Результаты, полученные в области 
В
-, 
А
-, 
С
- и 
СА
-множеств, позволили решить до конца некоторые вопро-
сы, относящиеся к изучению природы основных объектов математи-
ческого анализа. Ряд существенных результатов получен А.А. в об-
ласти униформизации множеств. Он исследует проекции униформ-
ных 
СА
'
n
-1
-множеств, названных им 
А
'
n
-множествами (1939 г.); 
дополнения к 
А
'
n
-множествам названы 
СА
'
n
-множествами; множе-
ства, одновременно являющиеся 
А
'
n
- и 
СА
'
n
-множествами 
B
'
n
-мно-
жествами. А.А. обращает внимание на то, что операция так назы-
ваемого элементарного решета есть геометрическая форма 
А
-опе-
рации. Исследуя свойства 
А
'
n
-, 
СА
'
n
-, 
B
'
n
-множеств при 
n
≥
2, 
А.А. доказал (1939 г.), что класс 
B
'
n
-множеств инвариантен относи-
тельно операций счётного объединения и счётного пересечения.
Для изучения проективных множеств используется аппарат об-
щей теории операций над множествами. А.Н. Колмогоров (1928 г.) 
дал определение широкого класса операций над множествами, 
наз ванных 
δ
s
-операциями. В дальнейшем 
δ
s
-операции изучали 
Л.В. Кан торович и Е.М. Ливенсон (1932, 1933 гг.), Ю.С. Очан 
(1942, 1955 гг.), А.А. Ляпунов (цикл работ 1946
–
1973 г.). Исследуя 
свойства 
δ
s
-операций, А.А. установил общие теоремы о кратной 
отделимости для 
δ
s
-операций, из которых следуют все известные 
теоремы этого типа. Его «основная лемма» лежит в основе кратной 
отделимости.
В связи с трудностями, возникшими при изучении проектив-
ных множеств, встал вопрос о построении возможно более широ-
ких эффективных классов измеримых множеств. А.Н. Колмогоров 
рассмотрел своеобразный процесс усиления 
δ
s
-операций, назван-
ный им 
R
-операциями. Это привело к построению так называемых 
R
-множеств. А.А. 
Ляпуновым было предпринято исследование 

---

26
I. СТРАНИЦЫ ЖИЗНИ А.А. ЛЯПУНОВА
трансфинитных классов 
R
-множеств, получающихся 
R
-операция-
ми нормального ряда (1949 г.). Он существенно продвинул вперед 
теорию 
R
-множеств и вопрос о расширении теоретико-множест-
венных операций, приводящих к измеримым множествам. Основ-
ные результаты его работы в этом направлении представлены в 
работе «Об операциях, приводящих к измеримым множествам» 
(1949 г.) и в монографии «
R
-множества» (1953 г.), представляющей 
собой систематическое изложение теории 
R
-множеств.
Ряд работ А.А. Ляпунова относится к области метрической те-
ории множеств и посвящён изучению вполне аддитивных вектор-
функций множеств и законов распределения случайных величин. 
Теорема А.А. Ляпунова о множестве значений аддитивной вектор-
функции множеств, доказанная в 1940 г., получила широкий резо-
нанс и развитие в работах многих исследователей. А.А. Ляпунов 
показал, что вполне аддитивная вектор-функция, лишённая скач-
ков, определённая на системе подмножеств некоторого множества, 
инвариантной относительно счётных сумм и пересечений и взятия 
дополнений, и принимающая значения 
n
-мерного эвклидова про-
странства, имеет выпуклое множество значений. В 1946 г. им было 
показано, что это свойство теряется, если вместо конечномерного 
пространства взять бесконечномерное, хотя бы даже компактное 
пространство.
А.А. возвращается к анализу вполне аддитивных вектор-функ-
ций в 60-е годы. Он публикует две статьи в «Проблемах киберне-
тики», подчёркивая этим важность разрабатываемого им подхода 
для решения задач, смежных для кибернетики и математической 
экономики, в частности, для принятия решений о справедливых 
дележах. Жизнь подтвердила правильность предвидения А.А. Ля-
пунова. «Теорема Ляпунова» находит многогранные возможности 
практического приложения, особенно в сфере математической 
экономики и оптимального управления.