100 лет со дня рождения

разделом математики. Требования к численному анализу, предъяв-
ленные необходимостью считать в автоматическом режиме, приве-
ли к созданию большой новой области математики, получившей 
название вычислительной математики. Эта область органически 

---

173
О роли математики в современной человеческой культуре
связана с идеями функционального анализа, она оказывает сейчас 
огромное влияние на развитие многих областей, смежных с мате-
матикой. Достаточно сказать, что такие ученые, как С.Л. Соболев, 
А.Н. Тихонов, И.М. Гельфанд, Г.И. Марчук, работают в этой об-
ласти.
Необходимость решения задач при помощи вычислительных 
машин предъявляет специфические требования к той форме, в ко-
торую задачи должны быть приведены для передачи машинам. Соз-
даны специальные понятные для машин языки, на которых форму-
лируются задачи. Одновременно возникает вопрос о рациональном 
построении таких языков, об изучении их структуры и увеличении 
их возможностей. На первых порах для передачи задач машинам 
вручную выписывалась программа, т. е. перечислялся во всех под-
робностях перечень тех операций, которые машина должна выпол-
нить для того, чтобы получить решение задачи в соответствии с 
разработанным алгоритмом (при этом нужно иметь в виду, что 
обычно в алгоритмах, приводящих к решению сложных математи-
ческих задач, имеются куски, где одна и та же последовательность 
элементарных операций многократно повторяется; в программу 
нужно включить такой кусок один раз и только указать характер 
его повторяемости; при этом машина в автоматическом режиме 
выполнит то, что требует алгоритм).
Уже на этой стадии возникли новые математические вопросы, 
связанные с тем, чтобы научиться конструировать программы так, 
чтобы машина работала в возможно более выгодном режиме 
–
по 
возможности уменьшить время работы машин, а также загрузку 
памяти машины. Это последнее обстоятельство важно потому, что 
оно дает возможность решать те же самые задачи на более простых 
машинах, на машинах, обладающих меньшими возможностями. 
Однако скоро стало ясно, что «прямое» программирование чрез-
мерно трудоёмко. Стали пользоваться стандартными программами, 
т. е. такими программами, служащими для решения некоторых ти-
пичных математических задач, которые можно было вставлять как 
составные части в программы для решения других, более крупных 
задач. Однако не для всех задач это удобно. В результате возник 
вопрос о разработке специальных языков программирования, об-
ладающих следующими свойствами: с одной стороны, подготовка 
задач на таком языке должна быть значительно менее трудоемка, 
чем составление настоящей программы; с другой стороны, обуче-
ние людей работе с таким языком должно быть много проще, чем 
обучение их непосредственно программированию. С помощью 
специальных транслирующих программ процесс решения задачи, 

---

174
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
записанный на таком условном языке, переводится в рабочую про-
грамму, которая уже выполняется машиной. В этом направлении 
нужно отметить работу по языкам программирования типа 
алгол, 
кобол, фортран
, работу по логическим схемам программ и т. д. 
В результате трудоёмкость программирования сильно понизилась, 
а его доступность возросла.
Другой пример математических задач, возникших в связи с 
широким распространением вычислительных машин,
–
это машин-
но-математическое моделирование реальных процессов. Оно нахо-
дит применение в самых разнообразных областях: при изучении 
технологических процессов, социальных явлений, лингвистических 
явлений, в вопросах математико-экономических, а также вопросах, 
относящихся к организации управления производством, транспор-
том и т. д. Сущность этого метода состоит в следующем. Изучае-
мое явление должно быть представлено в таком виде: должны быть 
выделены некоторые элементарные составляющие объекты, а так-
же элементарные акты, в которые они вступают между собой, и те 
преобразования объектов, которые происходят при осуществлении 
этих актов. Кроме того, должен быть описан некоторый интеграль-
ный режим, в котором эти акты совершаются (либо строго по оче-
реди, либо в случайном порядке, либо порядок актов выбирается 
некоторым комплексом логических условий и т. д.). Затем строит-
ся программа, в которой определённым объектам соответствуют 
определённые ячейки памяти, определённым актам 
–
некоторый 
комплекс машинных операций, и обеспечивается то, что преобра-
зование ячеек, изображающих объекты, посредством этих актов в 
точности соответствует тем преобразованиям реальных объектов, 
которые совершаются реальными актами. Кроме того, в машине 
обеспечивается порядок осуществления актов, который соответ-
ствует реальному процессу. При помощи такой программы машина 
«разыгрывает» соответствующую модель, т. е. осуществляет про-
цесс, адекватный тому процессу, который имеется в действитель-
ности. По прошествии определённого времени машина выдает 
картину, которая с должной степенью точности соответствует той 
картине, которая должна была бы наблюдаться в действительнос-
ти. При построении такой модели основным обстоятельством яв-
ляется точное соответствие функционирования модели функцио-
нированию реального процесса, т. е., как говорят математики, 
изоморфизм обоих процессов. Такое моделирование производится 
обычно в несколько этапов. В самом деле, трудно обеспечить сразу 
правильное соответствие всех отношений, учтённых в модели, и 
тех отношений в реальном процессе, которые обеспечивают инте-

---

175
О роли математики в современной человеческой культуре
гральную картину, к которой он приводит. Поэтому первый этап 
работы состоит в том, что строится грубая модель, её функциони-
рование сопоставляется с действительностью, и затем на основе 
этого сопоставления модель совершенствуется. Нередко последо-
вательное улучшение модели проводится несколько раз. И только 
тогда получается хорошее соответствие модели действительности. 
Зато после того, как модель отлажена, возникает возможность экс-
периментирования с этой моделью и выяснения целого ряда осо-
бенностей реального процесса, которые было бы чрезвычайно 
трудно установить без помощи модели.
Приведём в качестве примера модель конвейера трубопрокат-
ного завода, которая была разработана Н.П. Бусленко с сотрудни-
ками. История вопроса состоит в следующем. На одном из трубо-
прокатных заводов был построен конвейер, рассчитанный на опре-
делённую пропускную способность. Однако на практике достичь 
проектной пропускной способности оказалось невозможно. Про-
цесс начинал сбиваться, и конвейер выдавал брак. Исчерпав воз-
можности по наладке конвейера, инженеры обратились к матема-
тикам. Математики составили математическое описание конвейе-
ра, построили программу для моделирования этого конвейера в 
ЭВМ и скоро обнаружили, что причиной сбоя работы конвейера 
является недостаточный объем некоторых бункеров, в которых об-
рабатываемые объекты ожидают очередных операций. Им удалось 
определить целесообразный объем бункеров, и это позволило на-
ладить нормальную работу конвейера. Далее оказалось, что неболь-
шое изменение проекта позволяет при тех же затратах создать кон-
вейер еще большей пропускной способности. Это было принято во 
внимание при проектировании следующего конвейера.
Более или менее аналогично могут строиться математические 
мо дели функционирования тех или других систем органов, входя-
щих в состав организма человека или животного, модели систем 
биохимического синтеза, протекающего в клетке, программы для 
получения машинного перевода с одних языков на другие, т. е. в 
некотором смысле машинно-математическое моделирование дея-
тельности человека-переводчика и т. п. Математические модели ре-
альных процессов могут использоваться как для изучения этих про-
цессов, так и для управления реальными процессами. По сути дела, 
автоматическое управление процессом плавки металла или процес-
сом создания определённых полимеров также является моделиро-
ванием деятельности человека, управляющего этим процессом.
Из всего изложенного выше вытекает, что в наше время су-
щественным образом меняются требования к характеру математи-

---

176
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
ческой работы, а также характеру знаний математиков и характеру 
математических знаний представителей других профессий. Совре-
менное проникновение математики в самые различные сферы 
человеческой деятельности ведёт к тому, что постановка матема-
тических задач прикладного характера требует весьма глубоких 
знаний, относящихся, с одной стороны, к самой математике, с 
другой 
–
к той области знаний, к которой относится изучаемая за-
дача. Кроме того, эти задачи требуют умения полноценно исполь-
зовать вычислительные машины.
Объём знаний и характер индивидуального опыта, органичес-
ки требуемый прикладными задачами, часто далеко превосходят 
возможности одного человека. Поэтому экспансия математической 
мысли с необходимостью ведёт к возникновению больших коллек-
тивных научных исследований. Такие исследования требуют спе-
циальных форм организации науки. Эти коллективные исследова-
ния с высоким уровнем использования математической мысли 
предъявляют весьма специальные требования к системе народного 
образования. Каждый член коллектива должен не только уметь де-
лать своё дело, но он должен уметь плодотворно взаимодейство-
вать со своими товарищами по работе, как правило, представите-
лями других профессий.
Старая формула, что каждый человек должен знать всё о не-
многом и понемногу обо всём, оказывается неприменимой. Дей-
ствительно, нужно знать, если не всё, то весьма многое о том, что 
относится непосредственно к твоей профессии, а кроме того, нуж-
но иметь широкий кругозор, т. е. общие представления о самых 
разных, по возможности обо всех, сферах человеческой деятель-
ности. Чрезвычайно важно иметь достаточно глубокие знания в тех 
смежных областях, с представителями которых предстоит взаимо-
действовать, и нужно уметь понимать язык, на котором говорят 
представители этих профессий. Это определяет требования, предъ-
являемые к системе народного образования.