|
ТЕОРЕМА А.А. ЛЯПУНОВА
О ВЫПУКЛОСТИ ЗНАЧЕНИЙ МЕР
Настоящие заметки посвящены работам А.А. Ляпунова [1]
–
[4]
о выпуклости множества значений мер. Эти работы можно также
найти в сборнике [5].
Обзор результатов
Работа [1] посвящена исследованию структуры множества зна-
чений векторной меры.
Пусть
X
–
измеримое пространство,
ε
–
σ
-алгебра его подмно-
жеств,
ϕ
:
ε
→
R
n
–
нормированная мера,
Ξ
⊂
R
n
–
множество её
значений.
Теорема 1.
Множество
Ξ
замкнуто
.
Теорема 2.
Если мера
ϕ
–
неатомическая, то множество
Ξ
вы-
пукло
.
Теорема 3.
Множество
Ξ
центрально симметрично и центр сим-
метрии есть
1/2
ϕ
(
X
);
кроме того, множество
Ξ
содержит начало
координат и все его грани также центрально симметричны.
Определение.
Метрическим типом множества
E
∈
ε
называется
со вокупность всех множеств
E
′
∈
ε
таких, что
ϕ
(
E
′
\
E
) =
ϕ
(
E
\
E
′
) =
= 0. Метрический тип множества
E
обозначается через
E
*.
Определение.
Пусть
u
∈
Ξ
и
ε
(
u
) = {
E
∈
ε
|
ϕ
(
E
) =
u
}. Если
ε
(
u
)
образуют один метрический тип, то точка
u
называется
точкой
единственности
. Если таких типов континуум, то точка
u
называет-
ся
точкой континуальности
.
Теорема 4.
Если
ϕ
–
неатомическая мера, то если u
∈
Ξ
не край-
няя, то точка u является точкой континуальности, а если u
–
край-
няя точка, то она является точкой единственности
.
Теоремы 1 и 2 впоследствии были передоказаны в [6] и [7].
Дальнейшее развитие этого круга вопросов получило в работах
[8]
–
[11], [20], [21].
В работе [2] приводится пример неатомической меры, прини-
мающей значения из компактного параллелепипеда пространства
l
1
, множество значений которой невыпукло.
258
IV. О ТЕОРЕМЕ ВЫПУКЛОСТИ ЛЯПУНОВА
Работа [3] посвящена решению следующей задачи (к ней сво-
дится задача о справедливом дележе пирога ([19]), о которой будет
сказано ниже).
Пусть имеется система законов распределения
F
1
,…,
F
n
, задан-
ных на измеримом пространстве (
Ξ
,
Σ
) и система неотрицательных
чисел
α
1
,…,
α
n
–
1
. Спрашивается, в каком случае существует мно-
жество
E
0
∈
Σ
, обладающее тем свойством, что
F
n
(
E
0
) достигает
максимума при условии, что
F
i
(
E
0
) =
α
i
для всех
i
<
n
. Решение
состоит в следующем.
Пусть
μ
(
E
) =
Σ
n
i
=1
F
i
(
E
). Тогда существуют плотности
f
i
,
i
= 1,…,
n
, такие, что
F E
f
d
i
i
E
( )
( )
=
∫
ξ μ
.
Теорема 5.
Существует такая функция
y
n
=
c
1
y
1
+ … +
c
n
–
1
y
n
–
1
+
+
c
n
,
что
ξ
∈
E
0
,
если
f
c f
c
n
i i
i
n
n
( )
( )
ξ
ξ
>
+
=
−
∑
1
1
и
ξ
∉
E
0
,
если имеет
место противоположное неравенство. В случае, когда равенство
f
c f
c
n
i i
i
n
n
( )
( )
ξ
ξ
=
+
=
−
∑
1
1
имеет место на множестве
E
1
положитель-
ной меры
μ
,
в множество
E
0
следует включить произвольное подмно-
жество множества E
1
с таким расчетом, чтобы удовлетворить ус-
ловиям F
i
(
E
0
) =
α
i
для всех i
= 1,…,
n
–
1.
При этом F
n
(
E
0
)
будет
максимальным возможным
.
Решение поставленной задачи существует, если имеется хотя бы
одно множество E такое, что F
i
(
E
) =
α
i
для всех i
≤
n
–
1.
В част-
ности, это всегда имеет место, если
0
≤
α
1
= … =
α
n
–
1
≤
1.
Работа [4] посвящена далеко идущему обобщению результатов
работы [1]
–
доказательству выпуклости и замкнутости множеств
значений мер от систем множеств, подчинённых некоторым теоре-
тико-множественным ограничениям. Мы здесь не будем точно оп-
ределять рассматриваемые теоретико-множественные ограничения.
Отметим лишь, что примерами таких ограничений могут служить
следующие ограничения.
1. Множества
E
i
,
i
∈
I
, образуют разбиение
X
.
2. Попарные пересечения множеств
E
i
покрывают все
X
.
3. Все множества
E
i
совпадают между собой.
Сформулируем результат в частном случае примера 1.
Теорема 6.
Если множества E
i
, i
= 1,…,
n образуют разбиение X,
то множество значений мер
(
F
1
(
E
1
),…,
F
n
(
E
n
))
как множество в
R
n
замкнуто, а если мера F неатомическая, то выпукло
.
В заключение рассматривается задача об оптимальных деле-
жах, которая состоит в следующем.
259
Теорема А.А. Ляпунова о выпуклости значений мер
Найти множества
E
i
, i
= 1,…,
n
, удовлетворяющие данному тео-
ретико-множественному ограничению, для которых значение оцен-
ки
Φ
принадлежит некоторому фиксированному множеству
H
⊂
R
l
и для которых величина
f
(
Φ
(
E
1
,…,
E
n
)) максимальна, где
f
–
задан-
ная функция.
Описывается подход к решению этой задачи в линейном
случае.
Приложения
Арбитражные схемы.
Арбитражные схемы
–
это математичес-
кие модели согласованного выбора несколькими игроками реше-
ния из некоторого множества решений.
Начало этому направлению положено Нобелевским лауреатом
Нэшем в 1950 г. ([12]). Дальнейшее развитие этого направления
можно найти в [13]
–
[16].
Арбитражной схемой
называется множество
X
⊂
R
n
+
, которое
замкнуто, выпукло и содержит 0. Содержательная интерпретация
такова: имеется
n
участников (игроков). Им предлагается на выбор
некоторая точка
x
∈
X
. Если все игроки согласны на это предложе-
ние, то игрок
i
получает величину
x
i
,
i
= 1,…,
n
, в противном случае
каждый игрок получает 0. Заметим, что так как все
x
i
≥
0, соглаше-
ние выгоднее, чем отказ от него. Для определения решения в на-
стоящее время принят аксиоматический подход. Покажем, что
благодаря теореме А.А. Ляпунова задача о дележе пирога сводится
к арбитражной схеме.
Пусть (
Ξ
,
Σ
)
–
измеримое пространство («пирог»),
F
i
,
i
= 1,…,
n
–
неатомическая мера, которая интерпретируется как функция по-
лезности игрока
i
. Если дано произвольное разбиение {
E
i
},
i
= 1,…,
n
множества
Ξ
, то игрок
i
получает величину
F
i
(
E
i
),
i
= 1,…,
n
. Ввиду
теоремы 6 множество возможных выигрышей игроков выпукло и,
следовательно, задача о дележе пирога сводится к арбитражной
схеме. В частности, задача нахождения максимума по всем разбие-
ниям величины min
i
F
i
(
E
i
) решается с помощью теоремы 5.
Экономическое равновесие.
Рассматривается экономика обмена
с большим числом участников (математически это означает, что
множество участников отождествляется с пространством с неато-
мической мерой). Вводятся две концепции равновесия: коопера-
тивная
–
C
-ядро и некооперативная
–
равновесие по Вальрасу.
C
-ядро экономики обмена состоит из тех перераспределений
совокупного первоначального ресурса, каждое из которых ни одна
из групп участников не может улучшить, т. е. сделать каждого
260
IV. О ТЕОРЕМЕ ВЫПУКЛОСТИ ЛЯПУНОВА
своего члена богаче независимо от действий других участников, не
входящих в группу.
Равновесие по Вальрасу состоит из таких перераспределений
совокупных первоначальных ресурсов и вектора цен, что ни один
участник, действуя самостоятельно, не сможет улучшить свое по-
ложение при этих ценах.
Фундаментальный результат в большой экономике обмена со-
стоит в том, что при «естественных» ограничениях
C
-ядро и равно-
весие по Вальрасу совпадают. Это означает, что возможность коо-
перации не улучшает положение игроков.
При доказательстве этого результата важную роль играют тео-
ремы 1 и 2. Эти и другие вопросы большой экономики изложены в
монографии [18].
Do'stlaringiz bilan baham: |
