10. Узлуксиз функцияларнинг интегралланувчи бўлиши

4⁰. Ўрта қиймат хақидаги теоремалар. Айтайлик, функ­­ция юзага эга бўлган тўпламда берилган ва чегараланган бўл­­син:
,
.
3-теорема. Агар функция да интегралланувчи бўл­са, у ҳолда, сон топиладики,

бўлади.
◄ Юқорида келтирилган икки каррали интегралнинг хосса­ла­ридан фойдаланиб топамиз:

. ►
Бу теоремадан қуйидаги натижа келиб чиқади.
Натижа. Агар функция боғламли ёпиқ тўпламда уз­лук­­сиз бўлса, у ҳолда шундай нуқта топиладики,

бўлади.
4-теорема. Агар ва функциялар тўпламда интег­рал­ла­нувчи бўлиб, учун (ёки ) бўлса, у ҳолда сон топиладики,

бўлади.
Машқлар

1. 
   Агар функция чегараланган ёпиқ тўпламда чегара­лан­маган бўлса, унинг да интегралланувчи бўлмаслиги исбот­лансин.
   

2. Агар функция да интегралланувчи бўлса, функциянинг ҳам да интегралланувчи бўлиши кўрсатилсин.
3. Маълумки, ушбу

миқдор функциянинг даги ўрта қиймати дейилади.
Қуйидаги

функциянинг

даги ўрта қиймати топилсин.
4. Ушбу

тенгсизликлар исботлансин, бунда
.