10. Узлуксиз функцияларнинг интегралланувчи бўлиши

Каррали интегралларнинг мавжудлиги. Интегралланувчи функциялар синфи


1⁰. Узлуксиз функцияларнинг интегралланувчи бўлиши. Уз­лук­сиз функцияларнинг интегралланувчи бўлишини қуйидаги теорема ифодалайди.
1-теорема. Агар функция чегараланган ёпиқ тўпламда узлуксиз бўлса, у шу тўпламда интегралланувчи бўлади.
◄ Ихтиёрий сонни олайлик. функция чегараланган ёпиқ да узлуксиз. Бинобарин, функция да текис узлуксиз. Унда

сонга кўра, шундай сон топиладики, нинг диаметри бўлган

бўлаклашнинг ҳар бир бўлагида функция-нинг тебраниши учун

тенгсизлик бажарилади.
Шундай бўлаклашларга нисбатан

бўлади. Демак, функция да интегралланувчи.
2⁰. Узилишга эга бўлган функциянинг интегралланувчи бўлиши. Баъзи бир узилишга эга бўлган функцияларнинг интегралланувчи бўлиши ҳақидаги теоремани келтиришдан аввал битта содда тасдиқни баён этамиз.
Айтайлик, текисликда юзага эга бўлган тўплам берилган бўлиб, эса шу тўпламга тегишли нол юзали чизиқ бўлсин.
Тасдиқ. сон олинганда ҳам, шундай топиладики, нинг диаметри бўлган бўлаклаш олинганда, бу бўлаклашнинг чизиқ билан умумий нуқтага эга бўлган бўлакчалари юза­лари­нинг йиғиндиси дан кичик бўлади.
◄ чизиқ нол юзали бўлганлиги учун шундай кўпбурчак топи­ла­дики,
1) ,
2) учун
бўлади. Айтайлик, бўлсин. чизиқ нуқталари билан нуқталари орасидаги масофанинг энг кичигини дейлик. У ҳолда бўлган бўлаклашнинг чизиқ билан умумий нуқ­тага эга бўлган бурчаклари кўпбурчакка тегишли бўлади. Бино­барин, бундай бўлакчалар юзаларининг йиғиндиси дан ки­чик бўлади. ►
2-теорема. Агар чегараланган ёпиқ да бе­рил­ган бўлиб, бу тўпламга тегишли чекли сондаги нол юзали чизиқларда узилишга эга, қолган барча нуқталарда узлуксиз бўлса, функция да интегралланувчи бўлади.
◄ Соддалик учун функция даги битта нол юзали чи­зиқ­да узилишга эга, қолган барча нуқталарда узлуксиз бўлсин.
Ихтиёрий сонни олайлик. Унда , бўлган кўпбурчак ни ва қисмларга ажратади.
Равшанки, функция да текис узлуксиз. Унда га кўра шундай топиладики, нинг диаметри бўлган бўлаклашининг ҳар бир бўлакчасида функ­ция­нинг тебраниши

бўлади.
Юқоридаги тасдиққа биноан га кўра шундай топиладики, нинг диаметри бўлган бўлаклашининг кўпбур­чак билан умумий нуқтага эга бўлган бўлакчалари юзлари йиғин­диси дан кичик бўлишини топамиз.
Энди

деб диаметри бўлган нинг

бўлаклашини олиб, унга нисбатан тузилган Дарбу йиғинди-ларини айирмаси
(1)
ни қараймиз.
(1) тенгликнинг ўнг томонидаги йиғинди та ҳаддан иборат. Уни икки қисмга ажратамиз:

бунда,

бўлаклаш бўлакчаси ларнинг кўпбурчакдан ташқари-сида жойлашганларига мос (1) нинг ҳадларидан иборат йиғинди,

эса (1) нинг қолган барча ҳадларидан ташкил топган йиғинди.
Юқорида айтилганларни эътиборга олиб топамиз:
.
Бунда – функциянинг даги тебраниши. Кейин-ги тенг­сиз­ликдан

бўлиши келиб чиқади. Демак, функция да интеграл­ланувчи. ►