10. To’g’ri chiziq tenglamalari

10.4. To’g’ri chiziqlar dastasi
1-ta‘rif. Tekislikning M nuqtasidan o’tuvchi va shu tekislikda yotgan barcha to’g’ri chiziqlar to’plami to’g’ri chiziqlar dastasi deb ataladi.
Bunda M nuqta dastaning markazi deyiladi.
Berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi


y-y₁=k(х-x₁) (10.4)

ni qaraymiz. Bu yerdagi burchak koeffitsient k o’zgarsin. U holda k ning har bir aniq qiymatiga nuqtadan o’tuvchi aniq to’g’ri chiziq mos keladi. Aksincha abssissalar o’qiga perpendikulyar х=х₁ to’g’ri chiziqdan farqli barcha to’g’ri chiziqlar aniq k burchak koeffitsientiga ega bo’lib u (10.4) tenglama yordamida aniqlanadi.

Shunday qilib k burchak koeffitsient istalgan sonli qiymatni qabul qilganda (10.4) tenglama x=x₁ to’g’ri chiziqdan farqli markazi nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasini tenglamasini ifodalaydi.


5-misol. Markazi А(2; -3) nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi yozilsin. Dastadan 0x o’q bilan 60⁰ burchak tashkil etuvchi to’g’ri chiziq ajratilsin.
Yechish. х₁=2; у₁=-3. (10.4) ga ko’ra dastaning tenglamasi у+3=k(х-2) bo’ladi.
Shu dastadagi to’g’ri chiziqlardan 0х o’q bilan 60⁰ burchak tashkil etuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasini tuzamiz. bo’lgani uchun dasta tenglamasidan yoki tenglamaga ega bo’lamiz.
10.5. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi
va nuqtalar berilgan bo’lib, shu nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini tuzish talab etilsin. Shartga ko’ra to’g’ri chiziq nuqtadan o’tganligi uchun uning tenglamasi (10.4) ga ko’ra


y-y₁=k(х-x₁)

ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerdagi k noma‘lum. Uni topish uchun to’g’ri chiziqning nuqtadan o’tishi shartidan foydalanamiz. nuqta to’g’ri chiziqda yotganligi uchun uning koordinatalari shu to’g’ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya‘ni

.

Bundan

.


k ning ushbu topilgan qiymatini to’g’ri chiziq tenglamasi y-y₁=k(х-x₁) ga qo’ysak

yoki buni ga bo’lsak

(10.5)

tenglamaga ega bo’lamiz.

Demak (10.5) berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.
(10.5) da , deb faraz qilinadi, aks holda u ma‘noga ega emas. Boshqacha aytganda to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining hech biriga parallel bo’lmagan holni qaradik. Agar bo’lsa to’g’ri chiziq 0y o’qqa parallel bo’lib, uning tenglamasi bo’ladi. Agar bo’lsa, to’g’ri chiziq 0x o’qqa parallel bo’lib uning tenglamasi bo’ladi.
Izoh (10.5) tenglama to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining birortasiga parallel bo’lganda ham yaroqli.
U holda (10.5) dagi qaysi kasrning maxraji nolga teng bo’lsa uning suratini ham nolga tenglashtirish kerak xolos.
6-misol. Uchlari А(2;3), В(-1;4), С(5;5) nuqtada bo’lgan uchburchakning og’irlik markazidan uning AC tomoniga parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq va undan AB tomoniga perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziqlar topilsin.
Yechish. Uchburchakning og’irlik markazi M ni topamiz. Ma‘lumki uchburchak og’irlik markazining koordinatalari uning uchlarining nomdosh koordinatalarining o’rta arifmetigiga teng, ya‘ni uchlari А( ), В( ), С( ) nuqtalarda bo’lgan uchburchak og’irlik markazi М( ) nuqtaning koordinatalari


,

formulalar yordamida topiladi.

Biz qarayotgan holda


, va М(2;4).

Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (10.5) ga asoslanib uchburchakning AC va AB tomonlari tenglamalari topiladi. (10.5) ga A va B nuqtaning koordinatalarini qo’ysak

yoki у-3= bo’ladi.

Bundan AB to’g’ri chiziq tenglamasi yoki ga ega bo’lamiz.

Shuningdek (10.5) ga A va C nuqtalarni koordinatalarini qo’yib AC tomon tenglamasini topamiz:


yoki .

Bundan yoki ga ega bo’lamiz.

(10.2) ga asosan M(2;4) nuqtadan to’g’ri chiziqqa (AC tomonga) parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz: х₁=2, у₁=4, k= bo’lgani uchun yoki 3у-12=2х-4 va bundan 2х-3у+8=0 AC tomonga parallel to’g’ri chiziq tenglamasi kelib chiqadi.
Endi (10.3) dan foydalanib M(2;4) nuqtadan uchburchakning AB tomoniga o’tkazilgan perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz: х₁=2, у₁=4, k= ekanini hisobga olsak у-4=3(х-2) yoki у=3х-6+4, bundan у=3х-2 bo’ladi.