10-Mavzu: Gamilton tenglamalari

Tenglikning chap tomonidagi differentsial ostida turgan miqdor umumlashgan

• 
  Tenglikning chap tomonidagi differentsial ostida turgan miqdor umumlashgan
  
• 
  koordinatаlar qi da va umumlashgan impulslar pida ifodalangan energiyani anglatadi.
  
• 
  Bu fizikaviy kattalik MS ning Gamilton funktsiyasi(GF) deb ataladi:
  
• 
  (5)
  
• 
  Sodda qilib aytganda GF bu koordinatalarda va impulslarda ifodalangan energiyadir. Masalan, agar energiya:
  
• 
  (6)
  

bo'lsa, GF sini

• 
  bo'lsa, GF sini
  
• 
  (7)
  
• 
  deb yozsak bo'ladi.
  
• 
  (8)
  
• 
  formuladan (9)
  

tenglamalar kelib chiqadi. (9) tenglamalar MS ning harakatini q va p

• 
  tenglamalar kelib chiqadi. (9) tenglamalar MS ning harakatini q va p
  
• 
  o'zgaruvchilarda ifodalovchi HT si bo'lib, Gamilton tenglamalari(GT) deb ataladi.
  
• 
  GT lari noma'lum q(t) va p(t) larga nisbatan birinchi darajali 2s ta differentsial tenglamalar sistemasini tashkil etadi. GT larining sodda va simmetrik ko'rinishga ega bo'lganligidan, ba'zida kanoniktenglamalar ham deb ataladi. Agar HGF si q q ̇ , yoki p q, o'zgaruvchilardan tashqari MS ning xossalarini aks ettiruvchi boshqa λ parametriga ham bog'liq bo'lishi mumkin. U holda (2) va (8) o'rniga
  
• 
  (10)
  

(11)

• 
  (11)
  
• 
  ga ega bo'lamiz. (10) va (11) dan
  
• 
  (12)
  
• 
  ni topishimiz mumkin.
  
• 
  Gamilton tenglamalari Lagranj tenglamalariga qaraganda nosimmetrikroq, harakatning integrallarini olish uchun qulay va invariantlarga nisbatan o'zgarmasdir. O'zgaruvchan o'zgarishlarning keng sinfiga mansubdir.
  

2. Gemilton tenglamalarini olishning variatsion usuli.

• 
  Gamilton tenglamalarini ham to'g'ridan-to'g'ri olish mumkin variatsion printsip (1-bobga qarang). Buning uchun biz harakatni funktsional shaklda yozamiz:
  
• 
  (13)