10-mavzu fazoda nuqtalarning o‘zaro joylashishi. Nuqtalar ketma-ketligi va uning limiti Reja

13-ta’rif. Agar toʻplamning barcha urinish nuqtalari toʻplamga tegishli boʻlsa, u holda bu toʻplam yopiq toʻplam deb ataladi. 4-Teorema. Agar fazoda nuqtalar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lsa u holda bu ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. 14-ta’rif. Agar nuqtaning har qanday atrofida toʻplamga tegishli boʻlgan nuqtalar ham, tegishli boʻlmagan nuqtalar ham mavjud boʻlsa, u holda bu nuqta chegaraviy nuqta deb ataladi. 15-ta’rif.Agar o‘lchovli nuqtalar ketma-ketligi chekli limitgaega bo‘lsa, bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlik, aks holda uzoqlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental ketma-ketlikdir va aksincha.

Yaqinlashuvchi nuqtalar ketma-ketligi uchun quyidagi xossalar o‘rinli:

1) Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir.

2) Har bir chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin.

3) o‘lchovli nuqtalar ketma-ketligi nuqtaga yaqinlashsa, u holda uning har bir qism ketma-ketligi ham nuqtaga yaqinlashadi.

4) nuqta biror–bir nuqtalar to‘plamining quyuqlanish nuqtasi bo‘lsa, to‘plam nuqtalaridan nuqtaga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratib olish mumkin.

5) Yopiq to‘plamga tegishli nuqtalar ketma-ketligi nuqtaga yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda .

Nuqtalar ketma-ketligining limitini aniqlashda sonli ketma-ketlik limiti muhim ahamiyatga ega.

Masalan, nuqtalar ketma-ketligining limiti uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinli:

1. va nuqtalar orasidagi masofalardan tashkil topgan sonli ketma-ketlikning limiti nolga teng bo‘lgandagina, nuqta nuqtalar ketma-ketligining limiti bo‘ladi.

2. fazoda nuqtalar ketma-ketligi nuqtaga yaqinlashishi uchun tenglik bajarilishi zarur va yetarli.

Masalan, nuqta nuqtalar ketma-ketligining limitidir, chunki munosabatlar o‘rinli.

21-misol. ,