10-mavzu fazoda nuqtalarning o‘zaro joylashishi. Nuqtalar ketma-ketligi va uning limiti Reja

1-ta’rif. natural sonlar to‘plamini toʻplamga har qanday akslantirish toʻplam elementlari ketma-ketligi deb ataladi.

ketma-ketlik odatda yoki , ko‘rinishda yoziladi. Bunda:

ketma-ketlikning birinchi hadi,

ketma-ketlikning ikkinchi hadi, ...

ketma-ketlikning hadi, deyiladi.

Masalan: sonli ketma-ketliklarni ifodalaydi.

Ketma-ketlikning umumiy hadi ma’lum boʻlsa, ketma-ketlik berilgan hisоblanadi.

Masalan, funksiya ushbu toʻg‘ri kasrlar ketma-ketligini beradi:

.

Agar shunday , soni mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda sonli ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. Agar sonli ketma-ketlik yuqoridan ham, quyidan ham chegaralangan bo‘lsa, bu ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.

Agar ixtiyoriy uchun tengsizlik bajarilsa, u holda ketma-ketlik o‘suvchi (kamaymaydigan) sonli ketma-ketlik deyiladi. Kamayuvchi (o‘smaydigan) ketma-ketliklar ham shunga o‘xshash ta’riflanadi. Bunday ketma-ketliklar monoton deyiladi.

Agar ketma-ketlikning barcha elementlari faqat va faqat bitta soniga teng bo‘lsa, u holda uni o‘zgarmas deb atashadi. Masalan, ,

Sonli ketma-ketliklar rekurrent usulda ham beriladi. Bunda ketma-ketlikning birinchi hadi va hadini o‘zidan oldingi hadlar orqali topish qoidasi beriladi:

.

Shunday qilib, va hakozo. Masalan, .

Ko‘rish mumkinki, ketma-ketlikning hadlari kattalashtirilganda 1 soniga yaqinlashadi. Bunday holda ketma-ketlikning limiti 1 soniga intiladi deyiladi.

2-ta’rif. Agar etarlicha kichik ixtiyoriy son uchun shunday natural son topilib, barcha nomerlarda

tengsizlik bajarilsa, u holda soni ketma-ketlikning limiti deyiladi .

Bu limit yoki da ko‘rinishda yoziladi. Shuningdek, ketma-ketlik soniga yaqinlashadi ham deyiladi. Masalan, sonli ketma-ketlikda ekanligini ta’rif asosida isbotlaymiz.

Haqiqatan ham,

ifodani hosil qilamiz. Natijada, sonining butun son ekanligini e’tiborga olib, , deb olasak, natijada ixtiyoriy uchun shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy uchun bo‘ladi. Bu esa, aynan 4 soni ketma-ketlikning limiti ekanligini anglatadi, ya’ni .

3-ta’rif. Agar sonli ketma-ketlik chekli limitga ega boʻlsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deb ataladi.

Masalan, ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.