10-mavzu fazoda nuqtalarning o‘zaro joylashishi. Nuqtalar ketma-ketligi va uning limiti Reja

1-teorema. Agar sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning limiti yagonadir.

2-teorema.Yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi.

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega:

1) ketma-ketlik o‘zgarmas, ya’ni barcha lar uchun bo‘lsa, u holda

2) va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib, o‘zgarmas son bo‘lsa, u holda: ketma-ketliklar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va quyidagilar oʻrinli boʻladi:

a)

b)

c)

d)

e)

3) Aga bo‘lsa, u holda

4) Agar va bo‘lsa, u holda .

_1-misol. Sonli ketma-ketlik chegaralanganligini isbotlang:

Isbot: va shuning uchun .

Sonli ketma-ketlik chegaralanganligini isbotlang.

2-misol. Sonli ketma-ketlik monotonligini isbotlang:

Isbot: .

Demak, shuning uchun bu ketma-ketlik monoton kamayuvchi.

3-misol. Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib, quyidagilarni isbotlang:

Isbot: ixtiyoriy son olamiz, tengsizlikni qanoatlantiruvchi larni topish uchun tengsizlikni yechamiz. . Shunday qilib, sonining butun qismi boʻladi, u holda tengsizlik barcha larda bajariladi. -ixtiyoriy son boʻlgani uchun

Agar boʻlsa, larda boʻladi.

Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib, quyidagilarni isbotlang: