10-ma’ruza mavzu: O‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamada o‘zgarmasni variatsiyalash usuli

10-MA’RUZA
Mavzu: O‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamada o‘zgarmasni variatsiyalash usuli (Lagranj usuli).
Bir jinsli boʻlmagan yoki oʻng tomoni berilgan differensial tenglama

(1)

berilgan boʻlsin. lar x ning funksiyalari. Ushbu tenglama uchun bir jinsli qismi

(2)

1-teorema. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning xususiy yechimi va mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi yigʻindisidan iborat.

Bir jinsli boʻlmagan tenglamaning xususiy yechimini topishning umumiy usuli – Lagranjning ixtiyoriy oʻzgarmaslarni variatsiyalash usulini qarab chiqamiz:

Bir jinsli tenglama (2) ning umumiy yеchimi tuzamiz:

(3)

Bir jinsli boʻlmagan (1) tenglamaning xususiy yechimini larni х ning funksiyasi deb, yuqoridagi shaklda yechimni izlaymiz: (4)

Bu funksiyalarni shunday topish talab qilinadiki, (4) yechim (1) tenglamani qanoatlantirsin. Quyidagi tеnglamalar sistеmasini tuzamiz.
(5)
Nomaʼlum lardan iborat bu tenglamalar sistemasi yechimga ega, chunki sistemaning larning oldilaridagi koeffitsiyentlaridan tuzilgan bosh determinant chiziqli erkli xususiy yechimlarning Vronskiy determinantidan iboratdir. Maʼlumki, bunday determinant chiziqli erkli funksiyalar uchun noldan farqlidir.

Shunday qilib, (5) Sistema larga nisbatan yechilishi mumkin. Ularni topib integrallaymiz:

…………………………

Bu yerda - lar integrallash oʻzgarmaslari. Sistеmadan larni topib (4) tеnglikka qo‘ysak (1)-tеnglamaning umumiy yеchimi ni topamiz.

Bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama

(1)

berilgan boʻlsin. Bunday tenglama umumiy yechimining tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi: