10-ma’ruza mavzu: O‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamada o‘zgarmasni variatsiyalash usuli

Teorema. Bir jinslimas (1) tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning biror y* xususiy yechimi bilan mos bir jinsli

(*)

Tenglamaning umumiy yechimi yigʻindisi kabi ifodalanadi:

Yuqorida keltirilgan algoritmni xususiy holda o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamaga qo‘llaymiz, (*) tenglamaning umumiy yechimi

(**)

bo‘lsin. va larni x ning hozircha nomaʼlum funksiyalari deb hisoblab, bir jinslimas tenglamaning xususiy yechimini (**) koʻrinishda izlaymiz. (**) ni differensiallaymiz:

va funksiyalarni

Tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz. Agar bu qoʻshimcha shartni eʻtiborga olsak, u holda birinchi tartibli hosila :

koʻrinishda boʻladi. Endi bu ifodani differensiallab ni topamiz:

larni (1) tenglamaga qoʻyamiz:

yoki

Tenglikni hosil qilamiz. Birinchi ikkita qavs ichida turgan ifodalar nolga aylanadi, chunki va bir jinsli tenglamaning yechimlari. Demak keying tenglik

Koʻrinishni oladi. Shunday qilib, va funksiyalar quydagi tеnglamalar sistеmasini qanoatlantirsa, yaʼni:

boʻlsa, u holda funksiya (1) bir jinslimas tenglamaning yechimi boʻladi. Ushbu sistemadan va larni aniqlaymiz:

Ularni integrallab,

;

Tengliklarni hosil qilamiz, bunda va lar integrallash oʻzgarmaslari. va larning ifodalari (**) ga qoʻyib, va oʻzgarmas miqdorlarga bogʻliq boʻlgan bir jinslimas tenglamaning yechimini hosil qilamiz.