|
10-Маръруза.
Мавзу: Аниқ интегралларни тақрибий хисоблаш усуллари. Тўғри тўртбурчаклар, трапециялар, Cимпсон квадратур формулалари. Квадратур формулалар хатолиги.
Режа:
Тақрибий интеграллаш формулfлари зарурати ва ғояси.
Тўғри тўртбурчаклар формуласи.
Трапециялар формуласи.
Симпсон формуласи.
Квадратур формулfларининг хатолиги.
Асосий ибора ва атамалар: Дарбу юқори ва қуйи йиғиндилари, квадратур формуллар, хатолик.
Амалиётда аниқ интегралга боғлиқ масалалар жуда кўп учрайди. Юза ҳажмларини ҳисоблаш , мураккаб жараёнларда бажарилган ишни, сарфланган энергияни, ўтилган масофани ҳисоблаш хам аниқ интеграл ёрдамида амалга оширилар экан. Аниқ интегрални ҳисоблашда Ньютон-Лейбниц формуласига кўра бошланғич функция шартни қаноатлантирувчи маълум бўлса
(10.1)
формуладан фойдаланилади. Лекин аксарият холларда бошланғич функцияни топиш қийин, айрим холларда мумкин бўлмаслиги хам мумкин. Бундай холларда (10.1) интегралнинг тақрибий қиймати бўлсада топиш зарурати пайдо бўлади.
D
9-расм
Аниқ интеграл таърифига кўра функция графиги тўғри чизиқлар ва Oх ўқи билан чегараланган эгри чизиқли трапеция ABCD юзаси сифатида аниқланган.
Аниқ интегралнинг аксарият хоссалари, мавжудлик шартлари ҳам айнан шу таърифга асосланган. Аниқ интеграл юзани ифодалаши, юза эса квадрат метр, квадрат сантиметр ўлчов бирликка эга бўлгани учун ҳам, аниқ интегрални тақрибий ҳисоблаш формулалари умумий квадратур-формулалар атамаси билан бирлаштирилган. Тақрибий усулларнинг барчаси хам айнан шу ABCD эгри чизиқли трапеция юзасини ҳисоблаш сифатида қурилади. Бу ерда бошланғич функция умуман керак бўлмайди. Аниқ интеграл таърифини киритаётганда хам масала мохиятидан келиб чиққан холда оралиқни нуқталар билан та бўлакка бўлинган ва ABCD трапеция чизиқлар билан та трапецияга бўлинган. Ҳар бир оралиқда ҳосил бўладиган эгри чизиқли трапеция учун шартни қаноатлантирувчи ва лар аниқланиб Дарбунинг қуйи ва юқори йиғиндилари киритилади ва улар орқали
Тенгсизлик ўринли бўлиши кузатилади. Агар да Дарбу юқори ва қуйи йиғиндилари лимити мавжуд ва ўзаро тенг бўлса уни аниқ интеграл қиймати деб аталган. Таърифга кўра бу ABCD эгри чизиқли трапеция юзасини беради. 9-расмда кўриладики,
бўлса,
эканлигини кўрамиз. функция узлуксиз, ёки бўлакли узлуксиз бўлса хам аниқ интеграл мавжуд бўлар экан. Шунингдек Лагранжнинг чекли орттирмалар хақидаги теоремасига кўра мавжуд бўлса
Бу формуладан аниқ интеграл учун хам
(10.2)
Формула ёки ўрта қиймат хақидаги
натижани кўрамиз. Бу ерда шундай нуқта мавжудлиги таъкидланади. Аниқ интеграл хақидаги маълум маълумотларни эслагач бевосита квадратур формулаларга ўтишимиз мумкин.
y
x
10-расм
Тўғри тўртбурчаклар формуласи.
Интеграллаш оралиғи ни қадам билан та бўлакка бўламиз. Хар бир оралиқдаги эгри чизиқли трапеция юзасини тўғри тўтбурчак юзаси билан алмаштирамиз. Бу тўртбурчаклар асоси бир хил чунки бўлгани учун баландлигини эса га тенг деб олсак юзаси га тенг бўлади. Натижада
(10.3)
формула хосил бўлади. Бу формулани геометрик тузилишидан тўғри тўртбурчаклар формуласи дейилади. Чизмадан (10-расм) кўринадики, қадам кичиклашган сари (10.3) формуладаги хатолик кичиклишиб боради. Хатолик умумий миқдорини бахолаш учун ихтиёрий бўлакдаги хатоликни бахолашдан бошлаймиз.
(10.2) формулага кўра
Демак формуланинг хар қадамдан хатолиги
бўлгани учун хатолик Тартибида бўлар экан.
Демак, аниқ интегрални хисоблаш учун оддий (10.3) формулани тавсия қилиш мумкин экан. кичиклашган сари аниқлик ортиб борар экан. (10.3) формула бўйича хисоблашларни оддийгина дастур асосида компьютерда бажариш мумкин. ни кичиклаштириш хисобига исталганча аниқликка эришиш мумкин. Квадратур формулалар яратилган пайтда хисоблаш воситалари калькулятор, компьютерлар бўлмаган. Шунинг учун хисоблашлар сонини орттирилмаган холда, яъни ни майдаламай, аниқликни орттирувчи формулалар яратиш устида изланишлар бўлган. Натижада шундай формулалар кашф қилинган.
Трапециялар формуласи.
Тўғри чизиқли трапеция.
Бу формула ғояси шундан иборатки, ҳар бир оралиқдаги (10-расм) эгри чизиқли трапеция билан алмаштирилади ва изланаётган юзаси трапеция юзаси билан алмаштирилади.
Натижадақуйидаги тақрибий формула ҳосил бўлади.
Бу йиғиндини ёйиб ёзилса уни қуйидаги ишчи формула сифатида ифодалаш мумкин.
(10.4)
(10.4) формула трапециялар формуласи дейилади. Бу ерда ҳам қиймати (10.3) формуласидек марта ҳисобланади, лекин аниқлик ҳар қадамда тартибида, умумий хатолик эса тартибида бўлар экан. 10-расмдан хам трапеция формуласи аниқроқ эканлиги кўриниб турибди. Бу усулларда чизмани алмаштириш, яъни интеграл остидаги функцияни ўзгартириш йўли билан кетилаяпти. Мантиқан ўйлаганда функция графиги эгри чизиқ, уни тўғри чизиқ эмас эгри чизиқ масалан паробола билан алмаштирилса яхши бўлса керак деган фикр келади. Шу ғоя асосида формула яратилган.
Сипсон (паробола) формуласи
Интеграллаш оралиғи ни жуфт сонли бўлакларга бўламиз, яъни бўлсин. Бутун оралиқни учта-учта нуқтадан иборат та бўлакка бўламиз. Шу бўлакларнинг ҳар бирида функция графигини берилган учта га мос функция графиги нуқталаридан ўтувчи паробала билан алмаштирамиз. Лагранж интерполяцион кўпҳади формуласидан фойдалансак бу паробала тенгламаси
кўринишда бўлади. Интегралнинг шу оралиққа таалуқли қисми
формула бўйича алмаштирилади. Ўнга тарафдаги интеграллар ҳаммаси бир хил структурага эга бўлганлиги учун умумий формула чиқариб оламиз.
(10.5)
(10.6)
(10.6) формулани(10.5)ҳадлари интегралини хисоблашга тадбиқ қиламиз.
Бу натижаларни ва (10.5) формулани ҳисобга олган холда
Бу формулани бутун оралиқда тадбиқ қилсак ва соддалаштирсак
(10.7)
кўринишни олади. (10.7) формула
Do'stlaringiz bilan baham: |
