10. Дискретные системы управления

10.3. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование и его свойства


10.3.1. Дискретное преобразование Лапласа
Запишем снова выражение выходного сигнала идеального импульсного элемента
Начиная с этого параграфа, мы будем использовать половину суммы
Потому что x=0 pour в большинстве практических случаях. Частный случай будет обсужден после вывода общего выражения преобразования Лапласа для выражения (2).
Подвергнем (2) преобразованию Лапласа.

так как
Выражение (3) представляет преобразование Лапласа последовательности δ - функций, модулированной непрерывным сигналом.
Обозначим это преобразование сигнала x(t) символом D и назовем преобразование Лапласа последовательности мгновенных импульсов x(t) дискретным преобразованием x(t):

Замечание 1: обычно обозначают исходную переменную, как переменную времени, малыми буквами, тогда как преобразование – большими буквами.
Замечание 2: Частный случай имеет место при С одной стороны, сигнал непрерывный на входе x(t) это функция, равная нулю при . С другой стороны, расположена симметрично по отношению момента Это особенно
важно, в частности, для Имея в виду, что нижний предел интеграла равен нулю, дает половину площади интеграла Имеем вследствие этого для
Подобным образом находим преобразование Лапласа смещенной последовательности модулированных импульсов
После нескольких простых преобразований получим:

Следует добавить –x(0)/2, когда непрерывная функция x(t) имеет значение при x(t)=0.
В заключение заметим, что дискретное преобразование Лапласа представляет собой трансцендентную функцию, что неудобно при практических расчетах. На практике используют Z-преобразование, которое имеет более простой вид.