10. Дискретные системы управления

10. 3.3.8. Связь между спектрами непрерывного и дискретного сигналов
Для установления связи между непрерывным и дискретным преобразованием
весьма полезным, оказывается знать связь между спектрами непрерывного и дискретного сигналов.
Как известно, спектр непрерывного сигнала определяется преобразованием Фурье

Следует заметить, что преобразование Фурье не может быть применено непосредственно к дискретной функции времени. Поэтому следует представить дискретный сигнал как сумму модулированных δ-функций:
- последовательность единичных мгновенных импульсов. Как показывает рис.10.25, эта последовательность
периодическая с периодом, равным периоду дискретизации Т.

Каждая периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье

- коэффициент ряда Фурье где круговая частота квантования. Рассмотрим функцию под знаком интеграла. Как видно из рис.10.26, в пределах интегрирования существует только одна δ-функция.
Поэтому для коэффициента ряда Фурье получим следующее выражение


Следовательно, все коэффициенты ряда Фурье равны, независимо от номера гармоники. Поэтому для всей последовательности мгновенных единичных импульсов справедливо выражение
Для последовательности мгновенных импульсов, модулированных непрерывным сигналом, получим

К такому представлению дискретного сигнала преобразование Фурье допустимо:

где смещенный спектр непрерывного сигнала.
Следовательно, спектр дискретного сигнала равен бесконечной сумме смещенных спектров непрерывного сигнала.
10.3.3.9. Связь между Z- преобразованием и непрерывным преобразованием Лапласа

Как известно, непрерывное преобразование Лапласа и преобразование Фурье непрерывного сигнала связаны между собой следующим образом:

; ; ;
Такая же связь существует дискретным преобразованием Лапласа и дискретным преобразованием Фурье:

В общем, виде, можно написать
Используя символические обозначения, введенные ранее, можно написать
■   .
Если заменить , то получим связь между Z-преобразованием и непрерывным преобразованием Лапласа:
.
Эту связь обозначают символически так
Однако практически используют два метода перехода от к .
1. Находят предварительно функцию-оригинал от известного :
○   .
Чтобы облегчить переход от к , используют часто разложение
на простейшие слагаемые, и затем находят отдельные составляющие по таблицам
соответствий.
Пример. Пусть
Разложение на простейшие слагаемые дает
Функции-оригиналы: Следовательно, имеем: Подвергая Z-преобразованию, получаем

2. Делают непосредственный переход от к , используя таблицы соответ-
ствия. Если в таблицах соответствия нет соответствующего выражения, прибегают к предварительному разложению на простейшие слагаемые.
Пример.
Пусть
Разложение на простейшие дроби
Делаем переход в Z-область:

Частный случай, когда выражение от s содержит члены, непосредственно имеющие .
В этом случае имеет место

Пример. Пусть
Следовательно, Находим , предварительно раскладывая выражение на простейшие дроби:
= Окончательно, имеем