|
Yechish. Agar biz sonni munosabatdan aniqlasak, u holda fazo fazoga izomorf bo‘ladi. Buni isbotlash uchun fazoning ixtiyoriy elementi yordamida fazoda
(5)
chiziqli funksionalni aniqlaymiz. Dastlab (5) tenglikning o‘ng tomonidagi qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy natural son uchun
(6)
o‘rinli. Birinchi tengsizlikni yozishda biz Gyolder tengsizligidan foydalandik. Bu yerdan (5) tenglikning o‘ng tomonidagi qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi hamda funksional uchun quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
.
Demak, (5) tenglik bilan aniqlangan funksional chiziqli va uzluksiz. Agar elementning hadlarini
(agar bo‘lsa, deb olinadi) ko‘rinishda tanlasak, quyidagilarga ega bo‘lamiz:
.
Biz va ekanligini hisobga olsak,
Demak,
.
Ko‘rsatish mumkinki, fazodagi ixtiyoriy chiziqli uzluksiz funksional (5) korinishda tasvirlanadi.
Shunday qilib va fazolarning izomorfligi isbotlandi.
6-misol. fazoga qo‘shma fazoni izomorfizm aniqligida toping.
Yechish. kesmada aniqlangan va nuqtada nolga aylanuvchi o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi orqali belgilanadi. Ko‘rsatish mumkinki, bu to‘plam funksiyalarni qo‘shish va ularni songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda elementning normasi tenglik bilan aniqlanadi. Bu yerda o‘zgarishi chegaralangan funksiyaning kesmadagi to‘la o‘zgarishi. Ko‘rsatamizki, .
Biz - bilan kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. Bu to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda elementning normasi
tenglik bilan aniqlanadi. Har bir funksiya chegaralangan va
tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun fazoni fazoning qism fazosi sifatida qarash mumkin. Endi ixtiyoriy chiziqli uzluksiz funksional bo‘lsin. Normalangan fazolarda Xan-Banax teoremasiga ko‘ra funksionalni normasini saqlagan holda butun fazoga davom ettirish mumkin. deb funksionalning dan ga davomini belgilaymiz.
Endi
funksiyalar oilasini qaraymiz. Ravshanki, ixtiyoriy uchun . funksionalning elementdagi qiymatini deb belgilaymiz, ya’ni
, .
Natijada kesmada funksiya aniqlandi. Bu funksiyaning o‘zgarishi chegaralangan ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun kesmani ixtiyoriy chekli sondagi
(7)
nuqtalar bilan bo‘lakchalarga ajratamiz. (7) bo‘linishga mos
yig‘indini qaraymiz. Agar
belgilashlarni kiritsak, u holda
chiziqli funksionalning chegaralanganligi va dan
tenglik kelib chiqadi. So‘nggi tenglik
tenglikka asoslangan. Shunday qilib, (3) ko‘rinishdagi ixtiyoriy bo‘linishda
tengsizlik o‘rinli. Bundan kelib chiqadiki, va
. (8)
– ixtiyoriy element bo‘lsin. Har bir n natural son uchun kesmani
, (9)
nuqtalar yordamida ta teng bo‘lakka ajratamiz va
(10)
pog‘onasimon funksiyani quramiz. U holda quyidagi formula bo‘yicha aniqlanadi:
.
Bu funksiyalarning aniqlanishidan ko‘rinib turibdiki, va agar bo‘lsa . Kantor teoremasiga ko‘ra funksiya kesmada tekis uzluksiz funksiya bo‘ladi. Shuning uchun uchun shunday mavjud bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajariladi. Shunday ekan, yetarlicha katta bo‘lganda
bo‘lgani uchun
tengsizlik bajariladi. Bu yerdan ketma-ketlikning funksiyaga [a;b] kesmada tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. uzluksiz funksional bo‘lganligi uchun
.
Ikkinchi tomondan da uzluksiz va da o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar uchun
Riman-Stiltes integrali mavjudligi va (10) yig‘indi uning (9) bo‘linish bo‘yicha integral yig‘indisi bo‘lganligi sababli
.
Ammo bo‘lgani uchun , ya’ni
(11)
tenglik o‘rinli. Shunday qilib ixtiyoriy uchun (11) formula bo‘yicha aniqlanadi.
Riman-Stiltes integrallari uchun o‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra ixtiyoriy uchun
yoki
tengsizlikni olamiz. Bundan
(12)
tengsizlik kelib chiqadi. Endi (8) va (12) tengsizliklarni taqqoslab,
(13)
tenglikka ega bo‘lamiz. Olingan natijalardan tashqari yana shuni ta’kidlash lozimki, va bo‘lgani uchun shart o‘rinli.
Endi f funksional uchun olingan natijalarni jamlab, quyidagi F.Riss teoremasini keltiramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
