10-amaliy mashg`ulot. Musbat hadli sonli qatorlar yaqinlashishining yetarli shartlari: dalamber alomati, koshining radikal va integral alomatlari

Natija: sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lishi uchun teoremadagi xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Umumlashgan garmonik qatorlar. Integral alomatning tatbig‘iga misol sifatida umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi ushbu
(7)
musbat hadli qatorni tekshiramiz. Bu yerda p parametr ixtiyoriy haqiqiy qiymatni qabul qilishi mumkin deb olamiz. Bunda p=1 bo‘lganda (7) oldin ko‘rib o‘tilgan (§1, (11) misolga qarang) garmonik qatorni ifodalaydi.
Agar p≤0 bo‘lsa (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda bo‘lib, qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi.
p>0 holda (7) sonli qator uchun f(x)=1/x^p (x≥1) funksiya teoremadagi barcha shartlarni qanoatlantiradi. Shu sababli (7) sonli qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi

xosmas integral yaqinlashuvchiligiga teng kuchlidir. Bu xosmas integral qiymatini uning ta’rifi bo‘yicha uch holda alohida-alohida hisoblaymiz.

• 
  0<p<1. .
  

Demak, bu holda (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Jumladan,

kabi qatorlar uzoqlashuvchidir.

• 
  p=1 . .
  

Bu yerdan garmonik qator uzoqlashuvchi ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.

• 
  p>1.
  

= .
Demak, bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xususan,

sonli qatorlar yaqinlashuvchidir.
Shunday qilib, (7) umumlashgan garmonik qator p≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi, p>1 holda esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, (7) sonli qator yaqinlashuvini Dalamber va Koshi alomatlari orqali tekshirib bo‘lmaydi, chunki bu holda d=1va k=1 bo‘ladi.
Umumlashgan garmonik qatorlar turli sonli qatorlarning yaqinlashuvchi ekanligini taqqoslash alomatlari yordamida aniqlashda majoranta qator sifatida keng qo‘llaniladi.