10-Amaliy: kuchlanish tenzori va kuchlanish vektori matn

Matn
Qisqacha nazariy ma’lumotlar
Koordinatalar sistemasini markazi atrofida burish natijasida yangi koordinatalar sistemasi hosil bo’ladi (1-chizma). Hosil bo’lgan koordinatalar sistemasining bazis vektorlarini eski bazis vektorilari orqali quyidagicha ifodalash mumkin
, (1)
bu yerda yangi bazis vektorilarining eski bazis bilan tashkil qilgan burchaklari kosinuslari. Xuddi shunday eski bazislarni ham yangi bazislar orqali ifodalash mumkin
, (2)
bu yerda eski bazis vektorilarining yngi bazis bilan tashkil qilgan burchaklari kosinuslari.
Endi koordinatalarni almashtirganda kuchlanish tenzori komponentalarini almashtirishni qaraylik. Bu holda kuchlanish tenzorining komponentalari yangi koordinatalarda quyidagicha ifodalanadi
. (3)


Masala. Ox₁x₂x₃ Dekart koordinatalar sistemasida kuchlanish tenzori berilgan
.
Almashtirish matritsasi quyidagicha bo’lgan

koordinatalrni burish natijasida hosil bo’lgan koordinatalarda kuchlanish tenzorini aniqlang.
Yechish. (3) formulaga ko’ra koordinatalarni burish natijasida hosil bo’lgan yangi koordinatalarda kuchlanish tenzori (3) formulaga ko’ra topiladi

KUCHLANISH TENZORI SIRTI. KUCHLANISH TENZORINING SHARSIMON VA DEVIATR QISMLARI

Tutash muhitning P nuqtasidagi kuchlanish tenzorining Dekart koordinatalar sistemasining o’qlariga parallel yo’nalishdagi komponentalari bo’lsin.
(k-const) (1)

t englamaning geometrik ma’nosi P nuqta umumiy markazga ega bo’lgan ikkinchi tartibli o’xshash sirtlarni ifodalaydi. Tenglamdagi + yoki – ishoraning olinishi sirtning haqiqiyligini ifodalaydi. n_i birlik normal joylashgan maydonchada kuchlanish vektorini qaraymiz. vektorning yo’nalishida r radius-vektor komponentalarga ega. P nuqtadagi kuchlanish vektorining normal tashkil qiluvchilari

(2)
qiymatga ega.

ya’ni
(3)
Geometrik nuqtalar o’rni Koshi kuchlanishining sirti deyiladi (Koshi kvadrati deyiladi). Bu tarifdan, dS maydonchadagi kuchlanishning vektorlarining P nuqtadagi r radius vektoriga perpendikulyar bo’lgan qiymati r vektor bo’ylab P nuqtadan Koshi kuchlanishi sirtigacha bo’lgan masofaning kvadratiga teskari proporsianal ekanligi kelib chiqadi, ya’ni , bundan tashqari dS maydonchadagi kuchlanish vektorining radius-vektori radiusi r bo’lgan Koshi kuchlanish sirtining nuqtasiga o’tkazilgan urinma tekislikning narmaliga parallel bo’lishini ko’rsatish mumkin.
Umumiy holda kuchlanish tenzori sharsimon va deviator qismlarga quyidagi formula bo’yicha ajratiladi
, . (4)
1-Masala. Quyidagi kuchlanganlik holatlari uchun kuchlanish tenzori sirtini toping

1. 
   hamma tomonlama tekis kengayish
   

2. 
   bir o’qli cho’zilish (siqilish)
   

3. 
   sof siljish
   

4. 
   tekis kuchlangan holat
   

Yechish. a) (1) formulaga ko’ra

Demak hamma tomonlama tekish kengayishda kuchlanish tenzori sirti quyidagi sferadan iborat bo’lar ekan
.