1.Xatoliklar nazaryasi.
Xatolar nazariyasi - matematik statistika boʻlimi. Taqribiy xisoblarda topiladigan taqribiy qiymatlar uchun qoidalar ishlab chiqadi. Shuningdek, yoʻl qoʻyiladigan xatoliklarni oʻrganadi. Biror qiymatni topish uchun bir necha marta oʻlchash ishlari olib borilganda natijalar turlicha chiqadi, yaʼni qandaydir xatolikka yoʻl qoʻyiladi. Xatoliklar 3 xil boʻladi: doimiy, qoʻpol, tasodifiy. Doimiy xatoliklarning uchrashi oʻlchov asboblari bilan bogʻliq. Qoʻpol xatolik koʻrsatkichlar natijasini notoʻgʻri oʻqish tufayli roʻy beradi va bunday xatolik darhol koʻrinadi. Tasodifiy xatoliklar oʻlchash paytidagi turli tasodifiy sabablar tufayli paydo boʻladi. Xatolar nazariyasi, asosan, qoʻpol va tasodifiy xatoliklarni oʻrganadi. a nol son dep, aniq a0 sonidan deyarli farq qilmaydigan va hisoblashlar almashtradigan songa aytiladi. Tearema: Agar a taqribiy musbat soni qisqa ma`noda n to`g`ri o`nlik belgilarga ega bo`lsa u holda berilgan sonning birinchi qiymatiga ega bo`lgan raqami bo`linmasi bu sonning nisbiy xatosi dan oshmaydi, yaniy bunda - a sonining qiymatiga ega bo`lgan raqami.Xatolik uchun umumiy formula
2. Xatoliklar manbalari.
Matematik modelning xatoligi dastlabki masalani tuzishda paydo bo‘ladigan fizik farazlar va soddalashtirishlardan hamda foydalanilayotgan matematik apparatdan bog‘liq. Dastlabki axborotlardagi xatolikning sababi, masalan, noto‘g‘ri o‘lchash, biror miqdorlarni chekli kasrlarda ifodalab bo‘lmaslik bo‘lishi mumkin. Bu har ikkala xatolik birgalikda yo‘qotib bo‘lmaydigan xatolik deb ataladi. Aniq yechim bilan taqribiy yechim orasidagi farq xato deyiladi. Dastlabki ma’lumotlaming noaniqligi natijasida hosil bo‘lgan xato yo'qotilmas xato deyiladi. Biron masala aniq matematik formada yozilgan bo’lsa va uni bu ko‘rinishda yechish mumkin bo‘lmasa, u holda bu masala unga yaqinroq va yechish mumkin bo’lgan masalaga almashtiriladi. Buning
natijasida hosil bo’ladigan xato metod xatoligi deyiladi. Hisoblashlar jarayonida hosil bo’ladigan xatolik hisoblash xatoligi
deyiladi.
3. Taqribiy sonning absolyut, nisbiy, limit absolyut va limit nisbiy xatolik.
Faraz kilaylik A aniq son, a - uning taqribiy qiymati bolsin. Agar aA bo`lsa, a ortigi bilan olingan taqribiy son deyiladi.
1 - tarif. Taqribiy sonning xatoligi deb A va a orasidagi ayirmaga aytiladi.
Xatolikni a deb belgilasak, u holda quyidagicha boladi:
2 - tarif. Taqribiy sonning absolyut xatoligi deb A va a orasidagi ayirmaning moduliga aytiladi.
Absalyut xatolikni deb belgilasak, u holda quyidagicha boladi:
Amaliyotda kop xollarda 0,01 gacha aniqlik bilan, 1 sm gacha aniqlik bilan va x.k. lar uchraydi. Bu esa absolyut xatolikning 0,01; 1 sm va x.k. ga teng ekanligini bildiradi.
3 - tarif. Taqribiy son a ning nisbiy xatoligi
a) deb absolyut xatolik a ning A ning moduliga nisbatiga aytiladi: yoki formulalarni 100 % ga ko`paytrsak, nisbiy xatolik foiz hisobida chiqadi.
4.Qiymatli (ma’noli) va ishonchli raqamlar.
1–ta’rif. O‘nli kasr ko‘rinishida yozilgan sonning cha’dan noldan farq qiluvchi raqamdan boshlangan barcha raqamlariga qiymatli raqamlar deyiladi. Masalan, 0.003020 soni to‘rtta: 3,0,2,0 qiymatli raqamlarga ega: 25.5605 soni oltita: 2,5,5,6,0,5 qiymatli raqamlarga ega. 500 soni uchta 5,0,0 qiymatli raqamga ega; 0.00001 soni birgina 1 qiymatli raqamga ega va hokazo. 2–ta’rif. Agar berilgan taqribiy sonning absolyut xatosi n – qiymatli raqami razryad birligining yarmidan oshib ketmasa, bu sonning boshlang‘ich n ta qiymatli raqami ishonchli deyiladi. Shunday qilib, A aniq sonni almashtiruvchi a taqribiy son mahlum bo‘lsa, u holda
bo‘lib, bu sonning boshlang‘ich n ta am, am-1, …. , am-n+1 raqamlari qiymatli bo‘ladi.
6.Amal xatoliklari.
1–teorema. Taqribiy sonlar algebraik yig‘indisining absolyut xatoligi, shu sonlarning absolyut xatoliklari yig‘indisidan katta emas.
Isbot. Berilgan taqribiy sonlar x1, x2, ….., xn lardan iborat bo‘lsin. Ularning algebraik yig‘indisini ko‘raylik:
u = x1 +-x2 +- … +-xn.
Ravshanki,
u = x1+- x2+-… xn,bundan
u=x1-+ x2-+…+ xn
Teorema isbot qilindi. Taqribiy sonlarning algebraik yig‘indisining chegaraviy absolyut xatoligi uchun
hu = hx1+ hxn + …. + hxn
ni olish mumkin.
2–teorema. Noldan farqli taqribiy sonlar ko‘paytmasining nisbiy xatoligi, shu sonlarning nisbiy xatoliklari yig‘indisidan katta emas.
14.Chiziqsiz tenglamalarni taqribiy yechish.
|
5.Ishonchli raqamlar soni bilan limit nisbiy xatolik o‘rtasidagi bog‘lanish.
7.Funksiya xatoligi.
Amalda xatoliklarning teskari masalasi ham muhim ahamiyat kasb etadi. Uni quyidagicha ifodalash mumkin: funktsiyaning xatoligi berilgan kattalikdan oshib ketmasligi uchun, argumentlar xatoligi qanday bo‘lishi kerak? (qanday olinishi kerak?). Bu masala matematik aniqlanmagan masaladan iborat. CHunki birgina mahlum bo‘lgan funktsiyaning xatoligiga ko‘ra, n ta argumentning xatoligi topilishi kerak. Ushbu masalaning sodda yechilishi teng tahsir PRINTsi’iga ko‘ra hal qilinadi. Bu PRINTsi’ga binoan quyidagi hollar qaraladi:
u = f(x1, x2, … xn) funktsiyaning chegaraviy nisbiy xatoligi hosil bo‘lishiga argument chegaraviy absolyut xatoliklari teng tahsir etsin, boshqacha aytganda, ular o‘zaro teng bo‘lsin, yahni
hx1 = hx2 = …. = hxn (= hx)
9. Algebraning sonli usullari.
Asosiy tushunchalar: CHiziqli algebra masalalari, uch diagonalli sistemani echish, progonka (haydash ) usuli , usulning dasturi,.
Asosiy natijalar::
1. CHiziqli algebra masalalari:
.2. Uch diagonalli sistemani echish:
3. Progonka usulining dasturi
1. CHiziqli algebra masalalari
Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(1)
Bu sistemani ushbu vektorlar,matritsa kiritib qisqa ko‘rinishda ezamiz:
. (2)
Algebradan ma’lumki, bu erda quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1) , sistema yagona echimga ega: yoki Kramer formulalariga asosan , bu -matritsa A dan i-ustun bilan farq qiladi, unda o‘ng tomon joylashgan, bu erda - teskari matritsa ;
2) , bu erning o‘zida ikkita hol bo‘lishi mumkin:
a ) ,
bo‘lsa bu sistema birgalikda, aks holda ya’ni
b)
bo‘lsa, bu sistema echimga ega emas. Bu fikrlar chiziqli almashtirishlar yordamida hosil qilinadigan va doimiy to‘g‘ri bo‘lgan ushbu ayniyatlardan kelib chiqadi:
shartlarni qanoatlantiruvchi -vektor xos vektor, -son xos son deyiladi. (1) sistemaning echimini topish, xos son, xos vektorlarni topish masalalari chiziqli algebra masalalari deyiladi.
2. Uch diagonalli sistemani echish. Bu masalalar amalda juda ko‘p uchraydi, hatto shu kursning o‘zida bir necha bor ishlatiladi. Quyidagi
(3)
ko‘rinishdagi sitema uch diagonalli sistema deyiladi. Bu sistema haydash (progonka) usuli (I.M.Gelьfand, O.V.Lokutsievskiy-1953y.) bilan echiladi. Ravshanki, echimlar orasida
(4)
bog‘lanish bor(0- tenglama uchun bu aniq, ni 1-siga qo‘yamiz va hokazo.
30.Eng kichik kvadratlar usuli.
Eng kichik kvadratlar usuli — tasodifiy xatoliklarni oʻlchash natijasida hosil boʻladigan nomaʼlum miqdor qiymatini baholash usullaridan biri. Eng kichik kvadratlar usuli k. u. berilgan funksiyani yanada soddaroq funksiyalar orqali taqriban ifodalashda ham qoʻllanadi.
|
8. Xatolikning teskari masalasi
10. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning aniq usullari.
25.Lagranj interpolyasion formlasi va xatoligi
13.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechimini topishning iteratsion usullari.
|
