1-varyant super kengaytma funktori

Lemma. fazo kompakt bo’ladi.

Isbot. ketmaketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni har doim mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Zarur bo’lgan holda qism ketma-ketlikka o’tganda x ketma-ketligi kompaktda sistemaga yaqinlashadi deb hisoblasa bo’ladi. Avval sistema zanjirlanganligini ko’rsataylik, ba’zi toplamlar uchun tenglik o’rinli. U holda ba’zi bir uchun (7) shunday n soni topiladiki bo’lsin. U holda , ammo bu ning zanjirlanganligiga yoki (7) shartga zid. sistemani maksimal zanjirlangan sistema ekanligini ko’rsatamiz.

to’plam sistemaning har bir elementi bilan kesishsin. U holda uchun bo’lgan holda sistemaning har bir elementi bilan kesishadi. Demak, 2.1.8-teoremaga ko’ra barcha sistemalariga tegishli, aniq bittasidan boshlanib. Ammo u holda , bundan 2.24 ga ko’ra . Kelib chiqadigani - maksimal zanjirlangan sistema (MUT) 2.1.8- teoremaga ko’ra lemma isbotlandi.

Endi metrikasi to’plamida supergengaytma topologiyasini indutsirlaydi. Yuqorida isbotlangan lemma asosida akslantirish uzluksiz ekanligini tekshirish qiyin emas, U X ga ochiq to’plam bo’lsin. Bu bo’lgan shunday mavjudligini anglatadi. Ammo F ba’zi bir ning atrofi bilan U ochiq to’plamida joylashgan. U holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.