1-varyant super kengaytma funktori

4-variant.

1-savol. Gomotopik gruppa funktorlari.

1-javob.

Biz o‘rgangan (X₁,x₀) fundamental gruppa ko‘p hollarda (X,x) ko‘rinishda belgilanadi, chunki 1 indeks fundamental gruppa ta’rifldagi yo‘lda S(I,X) fazoning [0,1] = I ning bir o‘lchamli fazo bo‘lganligi uchun olinmoqda.

Umumiy holda {Х₁,x₀) fundamental gruppaning akslantirishlarini S(I" ,X) fazodan olish mumkin. Bu (X₁, Xx₀) fundamental gruppa. X fazoning x₀ nuqtadagi n o‘lchamli gomotopik gruppasi deyiladi.

Oldingi boiimlarda ta’kidlaganimizdek, ba’zi bir hollarda (X, Y) to‘plam gruppa tashkil qilar ekan. Ayrim hollarda bu gruppa abel gruppasini tashkil qiladi. Shu sababli (X, Y) gruppa strukturasiga qarab topologic fazolar va ularning uzluksiz akslantirishlari kategoriyasida har xil algebraik funktorlami ko‘rish mumkin. Algebraik funktorlar turli-tuman topologik algebraning va umumiy topologiya vazifalarini yechishda qoi keladi. Bunday algebraik funktorlarni ko‘rish va tatbiq qilish gomotopik topologiyaning asosini tashkil qiladi. Shuni ta’kidlashimiz lozimki, har bir Y topologik fazo hamda X ₁ va X₂ topologik fazolar orasidagi f :X₁->X₂ uzluksiz akslantirishga tabiiy aniqlangan quyidagi akslantirish mos kelmoqda:

Aniqroq aytadigan boisak, agar [ ] (X₂, Y) bo‘lsa, (X₁, Y) fazoda (gruppada) bu [ ] ga bir qiymatli [ ] mos kelmoqda. Shunga o‘xshab, har bir X topologik fazo va g:Y₁ Y₂ uzluksiz akslantirishga quyidagi akslantirishni mos qo‘yishimiz mumkin:

X topologik fazoning gomotopik va fundamental gruppalarini olsak, bu operatsiya ham kovariant (algeraik) funktorni tashkil qiladi. Fazoning gomologik gruppasi H(X) ni oladigan boisak, bu ham algebraik xarakterdagi funktorlarga misol boia oladi. Fazoning fundamental gruppasi, gomotopik va gomologik gruppasi tushunchalari ba’zi topologik xarakterdagi masalalami algebraik usullarda hal qilishda juda qo i keladi va aksincha. Topologik xarakterdagi misollarni yechishda funktorning gruppalarda qoilanishini ko'rib chiqaylik: A to‘plam X topologik fazoning yopiq to‘plamostisi boisin, tabiiy joylashtirish akslantirishini i bilan belgilaylik. Aytaylik, birorta uzluksiz akslantirish boisin. Bu
mavjud boiishi uchun quyidagi diagrammaning kommutativ boiishi zarur va yetarlidir.

2-savol. Kategoriya tushunchasi va ularga doir misollar.

2-javob.

Ta’rif. Agar elementlari obyekt deb ataluvchi sinf berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, kategoriya berilgan kategoriya deyiladi:

1) agar ning har bir juft obyektlari uchun morfizmlar deb ataluvchi to‘plami (A dan B ga) berilgan bo‘lsa; bu yerda morfizmdan iborat deyish mumkin, ko‘p hollarda u ko‘rinishda yoziladi;

2) ning ixtiyoriy uchlik obyekti uchun akslantirish aniqlangan bo‘lsin, bu yerda (y, ) juftlikning aksi (obrazi), , Mor (B,C), bu (y, ) obraz ₀y yoki y ko‘rinishda belgilanib, larning kompozitsiyasi deb ataladi;

3) Quyidagicha tasdiq. Mor (A,B) to‘plamlar va morfizmlar kompozitsiyasi uchun o‘rinli: (d) bu kompozitsiya assotsiativdir, ya’ni ixtiyoriy morfizmlar uchligi uchun ( y)=( )u o‘rinli;

4) ning har bir A obyekti uchun ayniy morfizm deb ataluvchi 1_A:A→A morfizm mavjud bo‘ladi, agar uning ixtiyoriy A B; A C morfizmlari uchun 1_A va 1_A= lar o‘rinli bo‘lsa;

5) ( ) agar ning (A,B), (A¹,B¹) juftliklari har xil bo‘ladi, agar Mor (A,B) va Mor (A¹,B¹) to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plam bo‘lsa.

2.1.2-misol. kategoriya. Bu kategoriyaning obyektlari to‘plamlardir. Ixtiyoriy ikki A va B to‘plamlar uchun sifatida A ning B ga bo‘lgan barcha akslantirishlar to‘plami tushuniladi. (ƒ,g) kompozitsiya sifatida esa, oddiy (g,ƒ)→ƒg akslantirishlar kompozitsiyasi ƒ*g tushuniladi.

2.1.3-misol. Tor kategoriya. Bu kategoriyaning obyekti topologik fazolardir. Mor top(X,U)=C(X,Y) – barcha uzluksiz akslantirishlar to‘plami, kompozitsiya esa, uzluksiz akslantirishlarning kompozitsiyasi uzluksiz bo‘lganligi sababli, uzluksiz akslantirishlarning oddiy kompozitsiyasidir.

2.1.4-misol. £ kategoriya. £ kategoriyaning obyekti barcha guruhlar to‘plami, Mor (A,B) esa, barcha A va B guruhlar orasidagi gomeomorfizmlar to‘plamidir. Kompozitsiya sifatida esa, gomeomorfizmlarning sodda kompozitsiyasini olish mumkin.

5.1.4-misol. Comp kategoriya. Bu kategoriyaning obyekti barcha bikompaktlar to‘plami, Nom (Somp (X,Y)), barcha X va Y bikompaktlar orasidagi uzluksiz akslantirishlar to‘plamidir. Kompozitsiya sifatida esa, uzluksiz akslantirishlar kompozitsiyasini olamiz.

5.1.5-misol. Agar ƒ morfizmga teskari ƒ¹ Mor_k (X,Y) mavjud bo‘lsa, ƒ Mor_k (X,Y) morfizmni ekvivalentlik (ƒ:X Y) deymiz. Bu yerda Mor_k bilan kategoriya morfizmlarini belgiladik.

Kategoriya ta’rifidan ko‘rinadiki, ixtiyoriy X Ob_k obyektning ayniy 1_x morfizmi yagonadir.

Yuqorida keltirilganlardan tashqari, kategoriyalarga muhim misol sifatida quyidagilarni ko‘rsatishimiz mumkin:

1. Barcha metrik fazolar va ularning uzluksiz akslantirishlari to‘plami.

2. Barcha chiziqli fazolar va ularning chiziqli akslantirishlari to‘plami.

Shuni ta’kidlash kerakki, yuqorida keltirilgan _{set, top}, Comp kategoriyalarda faqat gomeomorfizm, ^u£ kategoriyada esa, faqat gomeomorfizm ekvivalentlik vazifasini o‘taydi.

Barcha chiziqli fazolar va ularning chiziqli akslantirishlari kategoriyasida ekvivalentlik vazifasini chiziqli gomeomorfizm o‘taydi. Barcha metrik fazolar va ularning uzluksiz akslantirishlari kategoriyasida esa gomeomorfizm ekvivalentlik rolini o‘taydi.

3-savol. Ochiq to’plamning to’ldiruvchisi qanday to’plam.

3-javob. Topilmadi.

4-savol. Evklidning “Negizlar” asarida chiziq qanday ta`riflangan.

4-javob.

Ma’lumki, Evklid o‘zining “Negizlar” asarida chiziqni (egri chiziqni) “ensiz uzunlik” deb ta’riflagan. Biz bu iborani ta’rif sifatida qabul qilmasak-da, lekin u chiziqni ayniy tasawur qilishimizda bir turtki boiishi mumkin. Oldingi boblarda chiziqni to‘g‘ri chiziq qismlarining gomeomorf obrazi deb qabul qilishimizga qaramay, bu figura Evklid iborasiga doimo to‘g‘ri kelavermasligini tasdiqlash maqsadida bir taajjubli tuyulgan misolni keltiramiz. Bu misoldan va oldingi boblarda keltirilgan ma’lumotlardan ko'rinadiki, chiziq oddiy figuralar safiga kiravermas, ba’zida chiziq yuzasi ma’lum bir sathni egallab turar ekan.

5-savol. Bir o’lchamli local kompakt chekli sondagi yopiq bog’lamli to’plamlar birlashmasidan iborat bo’lgan metrik fazolarga chiziq deyiladi.

5-javob.

Ta’rif. Bir o‘lchamli lokal kompakt chekli dizyunkt yopiq bog‘lam!i to‘plamlarning birlashmasidan iborat bo‘lgan metrik fazolarga chiziq deyiladi. Tekislikda yotgan chiziqlarga silliq chiziq deyiladi. Tekislikda ichki nuqtaga ega bo‘lmagan bog‘lamli yopiq kompakt to‘plamlar silliq chiziq deb ataladi. Bu — chiziqqa Kantor tomonidan berilgan xarakteristika yoki ta’rifdir. Chiziqqa kesma, aylana, giperbola va quyidagi tekislik to‘plamostisi misol bo‘la oladi.

Ma’lum bo'lishicha, ixtiyoriy chiziqni f kubda yotgan Menger universal chizig‘ining birorta qismiga topologik ekvivalent deb olishimiz mumkin.