1. Variatsiyaning xossalari

1-misol. Funksional qaysi egri chiziqlar ustida ekstremumga erishishi mumkin?

Yechish. Bu yerda . Eyler tenglamasini tuzamiz:

Bundan

yoki

Eyler tenglamasining umumiy yechimi

Chegaraviy shartlarni hisobga olib ni topamiz. Demak izlanayotgan egri chiziq dan iborat. Qaralayotgan funksioanal faqat egri chiziq ustida ekstremumga eishishi mumkin.
2-misol. Funksional qaysi egri chiziqlar ustida ekstremumga erishishi mumkin?

Yechish. Bu yerda . Eyler tenglamasini tuzamiz:

Bundan

yoki

Eyler tenglamasining umumiy yechimi

Chegaraviy shartlardan foydalanib ni topamiz. Demak izlanayotgan egri chiziq dan iborat. Qaralayotgan funksioanal faqat egri chiziq ustida ekstremumga eishishi mumkin.


3. Eyler tenglamasining hususiy ko’rinishlari

Yuqorida ko’rib chiqilgan misollarda Eyler tenglamasi oson integrallandi. Lekin Eyler tenglamsi har doim ham oson integrallanavermaydi. Eyler tenglamasini sodda integrallanadigan ayrim holatlarini ko’rib chiqamiz.

1) funksiya ga bog’liq bo’lmasin:

Bu holda va Eyler tenglamasi funksiyadan iborat bo’lib u chegaraviy shartlarni qanoatlantirmasligi mumkin. Bunday vaziyatda variatsion masala yechimga ega bo’lmaydi. Agar funksiya yuqoridagi chearaviy shartlarni qanoatlantirsa, ya’ni va nuqtalardan o’tsa, u holda funksiya qaralayotgan variatsion masalaning yechimi bo’ladi. (1) funksional faqat egri chiziq ustida ekstremuma erishishi mumkin.
3-misol.

funksional qaysi egri chiziqlar ustida ekstremumga erishadi?.
Yechish. Bu yerda . Eyler tenglamasini tuzamiz:

yoki

Demak bo’lsagina qaralayotgan funksional ekstremalga ega bo’ladi (7-rasm). tengsizlikka ko’ra da qiymatni oladi, ya’ni bu funksional chiziq ustida ekstremumga erishadi. Agar va lardan biri noldan farqli bo’lsa, u holda funksionl uzluksiz chiziqlar ustida ekstremumga erisha olmaydi.



7-rasm
Ya’ni uzluksiz funksiyalar ketma-ketligini shunday tanlash mumkinki, ular va nuqtalardan o’tadi va grafigi deyarli abtsissalar o’qida joylashadi (8-rasm)

8-rasm
Tabiiyki, bunday ketma-ketlik funksiyalari ustida funksional qiymati noldan yetarlicha kichik farq qiladi ammo nolga teng bo’la olmaydi. Boshqacha aytganda funksional qiymatlarining aniq quyi chegarasi nolga teng bo’ladi ammo, bu quyi chegaraga erisha olmaydi, chunki ihtiyoriy uzluksiz funksiya uchun

tengsizlik bajariladi. Funksional bu quyi chegara qiymatiga quyidagi uzulishga ega funksiya ustida erishadi (9-rasm)



2. funksiya ga chiziqli bog’liq bo’lsin:


9-rasm
Ya’ni

ko’rinishdagi funksionalni qaraymiz. Bu holda Eyler tenglamasi

yoki

yoki

ko’rinishni oladi. Bu esa differensial tenglama emas funksiyadir. Agar bu funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantirmasa, variatsion masala yechimga ega bo’lmaydi, agar chearaviy shartlarni qanoatlantirsa qaralayotgan variatsion masalaning yechimi hisoblanadi.
Agar bo’lsa, ifoda to’la differensialdan iborat bo’lib

integral qiymati integrallanish yo’liga bog’liq bo’lmaydi, ya’ni o’zgarmas sondan iborat. Bunday holda variatson masala ma’noga ega bo’lmaydi.