1 ва 2-тур хосмас интеграллар, уларни ҳисоблаш ва яқинлашишга текшириш. Чегараси чексиз хосмас интеграллар

5– М А Ъ Р У З А
1 ва 2-тур хосмас интеграллар, уларни ҳисоблаш ва яқинлашишга текшириш.
1. Чегараси чексиз хосмас интеграллар.
Таъриф. Ярим интегралда узлуксиз бўлган функциянинг хосмас интеграли қуйидагича белгиланади:
ва ушбу тенглик билан аниқланади:
(27.1)
Агар (27.1) формулада ўнгда турган лимит мавжуд бўлса, у ҳолда хосмас интеграл яқинлашувчи дейилади. Бу лимит интегралнинг қиймати сифатида қабул қилинади.
Агар кўрсатилган лимит мавжуд бўлмаса, хосмас интеграл узоқлашувчи деб аталади.
Агар интеграл остидаги функция учун бошланғич функция маълум бўлса, у ҳолда хосмас интегралнинг яқинлашувчими ёки йўқми эканини аниқлаш мумкин. Ньютон-Лейбниц формулалари ёрдамида қуйидагига эга бўламиз:
.
Шундай қилиб, агар да бошланғич функция маълум бўлса (биз уни ), у ҳолда хосмас интеграл яқинлашувчи, агар бу лимит мавжуд бўлмаса, у ҳолда хосмас интеграл узоқлашувчи бўлади.
1-мисол. функция учун бошланғич функция бўлади.
Ньютон-Лейбниц формуласини қўллаймиз:
I=
Агар бўлса, интеграл яқинлашувчи.
Агар бўлса, интеграл узоқлашувчи.
Хосмас интеграл ярим чексиз интегралда ҳам шунга ўхшаш аниқланади:


Бу ерда бошланғич функциянинг
даги лимити.
Агар функция бутун сонлар ўқида узлуксиз бўлса, у ҳолда умумлашган хосмас интеграл қуйидаги формула билан аниқланади:
(27.2)
бу ерда –ихтиёрий тайинланган нуқта.
Агар (27.2) формулада ўнг томонда турган иккала интеграл яқинлашувчи бўлса, у ҳолда чап томондаги хосмас интеграл ҳам яқинлашувчи бўлади.
Мисол. Ушбу
интегрални яқинлашувчилигини текширинг.
Ечиш. (27.2) формулада деб фараз қилиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
Тенгликнинг ўнг қисмидаги хосмас интеграллар яқинлашувчи бўлади, чунки
Шунинг учун ушбуга эга бўламиз:
Таъриф. интервалда узлуксиз ва да аниқланмаган ёки узилишга эга бўлган функциянинг (1-шакл) хосмас интеграли
Чексиз функцияларнинг хосмас интеграллари
1-шакл
Агар (27.3) формулада ўнгда турган лимит мавжуд бўлса, у ҳолда хосмас интеграл яқинлашувчи дейилади.
Агар кўрсатилган лимит мавжуд бўлмаса, у ҳолда хосмас интеграл узоқлашувчи дейилади.
қуйидагича белгиланади:
ва ушбу тенглик билан аниқланади:
Агар интеграл остидаги функция учун бошланғич функция маълум бўлса, у ҳолда Ньютон-
(27.3)
Лейбниц формуласини қўллаш мумкин:


Шундай қилиб, агар да бошланғич функциянинг лимити мавжуд бўлса (биз уни билан белгиладик), у ҳолда хосмас интеграл яқинлашувчи, агарда бу лимит мавжуд бўлмаса, у ҳолда хосмас интеграл узоқлашувчи бўлади.
интервалда узлуксиз ва да аниқланмаган ёки II тур узилишга эга бўлган функциянинг хосмас интеграли ҳам шунга ўхшаш аниқланади:
=
бу ерда бошланғич функциянинг даги лимити.
Агарда функция кесманинг бирор-бир оралиқ нуқтасида чексиз узилишга эга ёки аниқланмаган бўлса, у ҳолда хосмас интеграл қуйидаги интеграл билан аниқланади:
Агар (27.4) формуланинг ўнг томонида турган
интервалардан ақалли биттаси узоқлашувчи бўлса, у ҳолда хосмас интеграл узоқлашувчи бўладию
Агар (27.4) нинг ўнг томонидаги иккала интеграл яқинлашувчи бўлса, у ҳолда тенгликнинг чап томонидаги хосмас интеграл ҳам яқинлашувчи бўлади.
Абсолют ва шартли яқинлашувчанлик.
Ишорасини сақламайдиган функцияларнинг хосмас интегралларини излашни баъзида номанфий функция бўлган ҳолга олиб келишга имкон берадиган аломатни келтирамиз.
Агар
интеграл яқинлашувчи бўлса, у ҳолда
интеграл ҳам яқинлашувчи бўлади.
Бунда охирги интервал абсолют яқинлашувчи интеграл деб аталади.
Агарда интеграл яқинлашувчи,
интеграл эса узоқлашувчи бўлса, у ҳолда
интеграл шартли яқинлашувчи интеграл деб аталади.